Czyż nie ma ważniejszych rzeczy na świecie niż zastanawianie się nad tym czy 0.999... to ta sama liczba rzeczywista co zwykłe, poczciwe 1? Zapewne są, niemniej kwestia równości czy różności jest także ważna, bowiem jest niezłym ćwiczeniem logicznego myślenia, a z wadliwą logiką możemy w życiu popełniać błędy których popełniać skądinąd nie chcemy.
Sprawa równości 0.999... i 1 wymaga od nas zdefiniowania występujących w problemie elementów. Wypada zdefiniować 0.999..., wypada zdefiniować 1, wymaga też zdefiniowania „równość” w tym kontekście. A kontekstem są liczby rzeczywiste. Musimy więc najpierw zdefiniować liczby rzeczywiste.
Liczby rzeczywiste można definiować na parę sposobów. Jedni matematycy w podręcznikach definiują je w jeden sposób, inni w inny. Czy te różne sposoby są równoważne? Czy „na jedno wychodzi”? Odpowiedź na to pytanie zależy od gruntu na jakim stoimy. Ten grunt czasem sobie uświadamiamy a czasem nie. Zazwyczaj, gdy przyjmujemy powszechnie dziś używaną „zwykłą logikę”, gdy przyjmiemy będącą w powszechnym użyciu teorię mnogości, wtedy w zasadzie na jedno wychodzi. Kwestia wygody. Ale gdy jesteśmy nieco rewolucyjni, gdy pociągają nas mniej dziś popularne a jednak dobrze się mające tendencje intuicjonistów,, konstruktywistów, i im podobnych, wtedy okazuje się, że różne podręcznikowe definicje liczb rzeczywistych definiują różne obiekty. Nie bądźmy jednak zbyt ambitni, bądźmy skromni, przyjmijmy „powszechnie stosowaną logikę” i „powszechnie używaną teorię mnogości” - jak w głównych artykułach Wikipedii . I tak czeka nas pewien wysiłek.
Jeszcze tej wprowadzającej do tematu przystawki nie skończyłem. Zatem jeszcze trochę cierpliwości! Wśród różnych możliwych, pretendujących do ścisłości, wprowadzeń liczb rzeczywistych w nauczaniu matematyki wymienię trzy:
a) przez „przekroje Dedekinda”
b) przez „ciągi Cauchy'ego”
c) przez aksjomaty opisujące własności liczb rzeczywistych
Różni autorzy różnie wybierają, a swoje wybory uzasadniają lub nie. Taki Rudin na przykład, w swoim dość popularnym podręczniku „Podstawy analizy matematycznej” (i ja na podstawie tego podręcznika analizę wykładałem i nawet go innym gorąco swego czasu zalecałem) tak uzasadnia swój wybór (w Przedmowie):
„Doświadczenie nauczyło mnie, że wprowadzanie liczb rzeczywistych na drodze konstrukcji wykorzystującej liczby wymierne, jakkolwiek logicznie całkowicie poprawne, jest jednak z pedagogicznego punktu widzenia nie najlepsze. Na początku większość studentów po prostu nie widzi takiej potrzeby, wobec tego w obecnym wydaniu zdecydowałem się wprowadzić liczby rzeczywiste jako ciało uporządkowane z dodatkową własnością istnienia kresu dolnego, która to własność umożliwia wiele interesujących i prędkich zastosowań.”
(AJ: pogrubienia moje)
I faktycznie, Rudin może zadziwić prędkością dochodzenia do trudnych zagadnień ( także płytkością ich traktowania). Jak wspomniałem i ja się Rudinem kiedyś podniecałem. Moje doświadczenie nauczyło mnie jednak, że za szybkość płaci się niedostatecznym rozumieniem głębi problemów. Powszechna to bolączka wielu modernizmów. W szczególności dzisiaj wybiorę sposób być może nieco staroświecki choć, jak przyznaje Rudin, „logicznie całkowicie poprawny”. Tak wprowadzane są liczby rzeczywiste w starym a dobrym podręczniku Kuratowskiego „Rachunek różniczkowy i całkowy”. I taką logicznie poprawną drogę dziś i ja proponuję. Dobrze ją poznać, dobrze wiedzieć jak liczby rzeczywiste można (nieomal) skonstruować z liczb wymiernych. Droga to nieco dłuższa niż przez „aksjomatykę”, jednak nagrodą jest to, że trzymamy wtedy naszego ptaka mocno w garści. Lepszy wszak wróbel w garści niż gołąb na dachu.
By móc mieć wróbla w garści trzeba najpierw opanować garść. Tą garścią w naszym przypadku są liczby wymierne. Liczby naturalne to każdy wie: 0,1,2,3,.... Liczby całkowite to …,-3,-2,-1,0,1,2,3,...
Liczby wymierne to 2/1, 1/2,3/2,2/3 itd. Każdy wie. Prawda, że jest pewna niejednoznaczność zapisu, bo 2/4 i 1/2 to ta sama liczba, podobnie jak 4 i 4/1 oznaczają też jedną i tę samą liczbę. Nikt z tym chyba jednak nie ma problemów. Będę więc zakładał, że nasza garść jest przygotowana na przyjęcie wróbla. Zatem do rzeczy. To znaczy do definicji przekroju Dedekinda i do definicji liczby rzeczywistej. Bo każdy przekrój Dedekinda zdefiniuje nam liczbę rzeczywistą.
Idea przekroju Dedekinda jest w zasadzie prosta/ Zaczynamy od obserwacji, że zbiór liczb wymiernych jest nieco „dziurawy”. W samej rzeczy, dość elementarnie można udowodnić, że nie ma takiej liczby wymiernej, która podniesiona do kwadratu dawałaby 2. Ale jest cały nieskończony zbiór A liczb wymiernych, które są≤0 lubpodniesione do kwadratu dają mniej niż 2, oraz dopełniający zbiór B liczb wymiernych nieujemnych, które podniesione do kwadratu dają więcej niż 2. Mamy więc „przekrój” przez zbiór liczb wymiernych. Taki przekrój coś definiuje. Otóż ideą Dedekinda było to, że każdy podobny przekrój definiuje pewną liczbę rzeczywistą.
(Obrazek z Chapman,Pugh, "Real Mathematical Analysis")
Przekrój Dedekinda
Definicja: Przekrojem Dedekinda nazywamy parę niepustych podzbiorów A,B zbioru ℚ wszystkich liczb wymiernych posiadającą następujące własności:
-
A i B nie mają elementów wspólnych
-
A i B w sumie dają cały zbiór liczb wymiernych
-
Każda liczba wymierna ze zbioru A jest mniejsza od każdej liczby ze zbioru B (innymi słowy: zbiór A jest na lewo od zbioru B)
-
W A nie ma największego elementu. Innymi słowy: dla każdej liczby wymiernej ze zbioru A istnieje większa od niej liczba też w A. (Edit: W wersji pierwotnej notki ten punkt był sformułowany błędnie. Patrz komentarz)
Liczbę rzeczywistą definiujemy jako przekrój Dedekinda. Można go zapisać jako A|B. Każdą liczbę wymierną r można utożsamić z przekrojem A|B, gdzie A jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych mniejszych od r, zaś B jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych większych lub równych r. Zatem, można powiedzieć, że liczby wymierne to szczególne przypadki liczb rzeczywistych zdefiniowanych w powyższy sposób. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy zwykle symbolem ℝ.
Na liczbach rzeczywistych zdefiniowanych w powyższy sposób można bez trudu zdefiniować operacje dodawania i mnożenia spełniające zwykłe własności. Można też zdefiniować porządek: mówimy, że liczba rzeczywista A|B jest mniejsza od liczby rzeczywistej C|D jeśli zbiór C zawiera elementy nie należące do zbioru A. podzbiorem zbioru C. Można też pokazać, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych posiada kres górny: wśród liczb ograniczających ten zbiór z góry istnieje liczba najmniejsza. Podobnie każdy niepusty zbiór liczb rzeczywistych ograniczony z dołu posiada kres dolny: wśród wszystkich liczb ograniczających ten zbiór z dołu istnieje liczba największa.
Teraz, kiedy wiemy już co to są liczby rzeczywiste, pozostaje kwestia zapisu. Omówię zapis dziesiętny.
Algorytm reprezentacji dziesiętnej
Weźmy dowolną nieujemną liczbę rzeczywistą x (zdefiniowaną przez przekrój Dedekinda, jak wyżej). Z liczbą to możemy stowarzyszyć rozwinięcie dziesiętne N.x1x2x3.... zdefiniowane w następujący sposób:
N jest największą liczbą całkowitą taką, że N ≤ x , x1 jest największą liczbą całkowitą ≤ 10(x-N),
x2 największą liczbą całkowitą ≤ 100(x-(N+x1/10)) itd. Gdy począwszy od którego miejsca mamy same zera, wtedy te zera możemy opuścić. Takie przedstawienie jest jednoznaczne.
Jeśli x jest ujemne, zamień x na -x, zastosuj powyższe, dopisz "-" przed wynikiem.
Czasem jednak spotykamy wyrażenia postaci 0.999.... Co to ma znaczyć? Trzeba by ten symbol wpierw jakoś zdefiniować. Bo czegoś takiego nigdy nie otrzymamy z algorytmu reprezentacji dziesiętnej podanego powyżej. Można by zdefiniować tak:
0.999... to przekrój A|B, gdzie A jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych r o własności:
istnieje liczba całkowita K taka, że 0.999....9 > r, gdzie 9 pojawia się K razy.
No dobrze, zbiór A mamy zdefiniowany. Nietrudno się przekonać, że definiuje on przekrój Dedekinda - zatem liczbę rzeczywistą (ćwiczenie do domu). Niewątpliwie 1 do niego nie należy (inne ćwiczenie domowe). Jest on ograniczony z góry – ma zatem kres górny. Nietrudno się przekonać, że tym kresem górnym jest 1 (kolejne ćwiczenie). Stąd wnioskujemy łatwo (jeszcze jedno ćwiczenie), że A reprezentuje liczbę 1. Czyli 0.999... to inny zapis liczby 1. Jeśli zastosujemy nasz Algorytm reprezentacji dziesiętnej do liczby 1, dostaniemy 1.0000... czyli 1 (kolejne ćwiczenie).
