Do Bożego narodzenia sześć dni. W każdy z tych dni możemy uczesać sferę S³ na inny sposób. Co prawda w sezonie 2016/2017 modne uczesania są symetryczne, jak na przykład „Niski kucyk” czy „Przedziałek na środku”.

Przedziałek nam nie odpowiada, bo przedziałek to osobliwość. Nas interesują uczesania bez wirów i bez przedziałków. Patrząc z tyłu na niskiego kucyka osobliwości nie widzimy – to już lepiej. Jednak niski kucyk wygląda zbyt symetrycznie. Nas interesują uczesania asymetryczne – jak to

Jednak matematyka dowodzi nam, że dwuwymiarowej sfery uczesać bez osobliwości się nie da. A trójwymiarową się da. Moda jeszcze do tego nie dorosła, jednak w niedalekiej przyszłości, gdy opanujemy podróżowanie w czwartym wymiarze (ale nie tym pseudowymiarze czasowym od teorii względności), wtedy czesać się trójwymiarowo będziemy bez problemów – będą do tego odpowiednie grzebienie i szczotki. Matematyka już tam jest, fizyka tam dochodzi, a i technologia za rogiem już się skrada.

W notce W poszukiwaniu czwartego wymiaru zapoznaliśmy się z sześcioma uczesaniami trójwymiarowej sfery kwaternionów o normie 1 w czterowymiarowej przestrzeni wszystkich kwaternionów. Z kwaternionów nie na należy się śmiać ani nie należy się ich bać. W kwaternionach jest cała głębia psychologicznej nieświa-podświa-domości:

Quaternions and the World of Carl Jung and His Followers

Kwaterniony mogą się gnieździć w naszym układzie nerwowym. Dlatego sześciu niesymetrycznym i nieosobliwym zaczesaniom sfery S3, po jednym na każdy dzień do Świąt, przyjrzymy się teraz bliżej.

Poszukując czwartego wymiaru nie poszliśmy zbyt daleko. Zakończyliśmy suchym wyleczeniem sześciu pół wektorowych w R4:

v1L = (-X,W,-Z,Y) , v1P = (-X,W,Z,-Y)

v2L = (-Y,Z,W,-X) , v2P = (-Y,-Z,W,X)

v3L = (-Z,-Y,X,W) , v3P = (-Z,Y,-X,W)

Trzy pola v1L,v2L,v3L pochodzące z obracania kwaternionów kopniakami z lewej oraz trzy pola v1P,v2P,v3P pochodzące z obracania kopniakami z prawej. Przy tym v1 obraca wokół osi x, v2 wokół osi y, v3 wokół osi z.

Stwierdziliśmy też, że każde z tych sześciu pól wektorowych jest prostopadłe do promienia wodzącego (W,X,Y,Z), zatem styczne do każdej sfery o stałym promieniu w czterowymiarowej przestrzeni, w szczególności styczne do interesującej nas sfery o promieniu 1.

Jednak mamy więcej: trzy lewe pola są do siebie wzajemnie prostopadłe, podobnie zresztą jak trzy prawe pola. Sprawdzamy obliczając iloczyny skalarne:

v1L.v2L = (-X)(-Y) + WZ + (-Z)W + Y(-X) = 0

v1L.v3L = (-X)(-Z) + W(-Y) + (-Z)X + YW = 0

v2L.v3L= (-Y)(-Z) + Z(-Y) + WX + (-X)W = 0

Podobnie dla pól od prawych przesunięć. Trzy wzajemnie prostopadłe pola zdefiniowane na trójwymiarowej sferze – mówi się, że definiują „równoległą absolutną” - po angielsku „absolute paralellism”. Był czas, że Einstein próbował zbudować jednolitą teorię pola w oparciu o podobną „równoległość absolutną”. Pisałem kiedyś o tym w notce Równoległość Alberta Einsteina i Elie Cartana.

Zakończyłem wtedy tak

Potem Einstein całą tą linię dociekań zarzucił. Dziś fizycy do tego wracają. Teorie z równoległością absolutną, ze skręceniem, dziś znów są przedmiotem zainteresowania. Pisał o tym wiele G. I. Shipov, usiłował tym sposobem wyjaśnić dość niezwykłe efekty żyroskopowych zabawek opartych o tzw. inercjoid Tolchina. I ja się tym aktualnie zająłem, choć na razie tylko od strony krytyki.

Dziś wiem trochę więcej niż wtedy gdy to pisałem. A co wiem tym się powolutku dzielę.

Sześć uczesań trójwymiarowej sfery! Należałoby je jakoś przedstawić na obrazkach, by panie (a także panowie jak np. Michał Piróg) mogły z tych moich propozycji w karnawale skorzystać. Posłużyłem się do tego rzutem stereograficznym z trójwymiarowej sfery na trójwymiarową przestrzeń Euklidesową. Taki rzut obrazuje całą sferę z wyjątkiem jednego punktu, tego z którego rzutujemy

Przejście od W,X,Y,Z w czterech wymiarach do x,y,z w trzech wymiarach jest dane formułami

x = X/(1-W), y = Y/(1-W), z = Z/(1-W).

Biegun z którego rzutujemy to punkt W = 1,X = Y = Z = 0. Przejście odwrotne od x,y,z na sferę jest dane wzorami

W = (r²-1)/(r²+1), X = 2x/(r²+1), Y = 2y/(r²+1), Z = 2z/(r²+1),

gdzie r² = x² + y² + z².

Przy rzucie stereograficznym obrazy wektorów blisko bieguna z którego rzutujemy robią się bardzo duże – podobnie jak much tuż przed soczewką rzutnika robi się ogromna na ekranie. Trzeba na to zniekształcenie wziąć poprawkę. Rzut stereograficzny nie zachowuje odległości, zachowuje jednak kąty – co jest miłe.

A oto naszych sześć fryzur w rzucie stereograficznym.

Przy tym rysuję tylko na płaszczyznach układu współrzędnych. Dobra, doświadczona fryzjerka wypełni wtedy bez trudu fryzurą całą (trójwymiarową) głowę.