Zachowania

W szkole na świadectwach z reguły miałem czwórki i piątki. W którejś tam klasie z zachowania dostałem tylko czwórkę, bodaj za gadanie na lekcji fizyki. Fizyce potrzebne są dobre zachowania. Idzie o zasady zachowania. Nam tutaj przyda się zasada zachowania energii i zasada zachowania krętu. Normalnie te zasady się „wyprowadza” z odpowiednich symetrii – często dość wątpliwych. Warto więc wyprowadzić je wprost, z równań ruchu – co obecnie zrobimy – dla niesymetrycznego bąka, z równań Eulera z poprzedniej notki:

Najpierw zajmiemy się energią. W naszym przypadku mamy do czynienia jedynie z energią kinetyczną ruchu obrotowego. Dla ruchu postępowego wzór na energię kinetyczną to znane mv²/2. Dla ruchu obrotowego jest trochę podobnie. Energia kinetyczna Ek to

Ek = (I₁ ω₁² + I₂ ω₂² + I₃ ω₃²)/2

Opuściłem (i nadal będę opuszczał) wężyki nad omegami. Będziemy pamiętać, że idzie o składowe omegi względem obracającego się układu przywiązanego do bąka. Chcemy pokazać, że energia kinetyczna Ek jest stała w czasie. Sam kształt i rozkład mas w naszym bąku jest niezmienny, stąd I₁,I₂,I₃ są stałe w czasie. Natomiast ω₁,ω₂,ω₃ się z czasem zmieniają i zmiana ta opisana jest równaniami Eulera. By udowodnić, że Ek jest stałe w czasie należy Ek zróżniczkować i wydedukować, że pochodna dEk/dt jest równa zeru. W wyrażeniu na Ek mamy kwadraty omeg, trzeba umieć różniczkować kwadrat funkcji. W lepszych szkołach tego uczą:

df²(t)/dt = 2 f(t) df(t)/dt

Korzystając z tej reguły znajdujemy:

dEk/dt = I₁ ω₁dω₁/dt + I₂ ω₂dω₂/dt +I₃ ω₃dω₃/dt

Zauważamy, że po lewej stronie równań Eulera mamy I₁ dω₁/dt, I₂ dω₂/dt, I₃dω₃/dt – choć pochodne po czasie oznaczone są tam kropkami. Możemy więc I₁ dω₁/dt, I₂ dω₂/dt, I₃dω₃/dt zastąpić prawymi stronami odpowiednich równań. Otrzymamy

dEk/dt = ω₁ω₂ω₃(I₂ – I₃) + ω₂ω₃ω₁(I₃ – I₁) + ω₃ω₁ω₂(I₁ – I₂)

Jeśli to wymnożymy i uporządkujemy – wyjdzie zero, bowiem wszystko się poupraszcza.

Zatem energia kinetyczna zachowuje się, jest zachowana, nie przybywa jej i nie ubywa. Jest stałą ruchu. Normalnie wyprowadza się takie prawo zachowania z „jednorodności czasu”, z tego, że na układ nie działają żadne siły zależne w sposób jawny od czasu. Zwykle zakłada się przy tym, że równania ruchu wyprowadzane są z jakiejś zasady najmniejszego działania. Fizyka opiera się na takich receptach. Kto te recepty pisze? Do takich pytań fizyka jeszcze nie dorosła. Zaczyna dorastać, ale jest to trudny i powolny rozwój.

Z jednorodności kierunków wyprowadza się zwykle inne prawo zachowania – prawo zachowania krętu. Kręt w trójwymiarowej przestrzeni reprezentowany jest przez wektor. Stałe są więc trzy składowe tego wektora – tyle, że względem układu laboratoryjnego. A nasze równania Eulera są napisane w układzie obracającym się, a nie tym laboratoryjnym. Związek zaś pomiędzy tymi dwoma układami jest na razie nieznany, żeby go znać trzeba rozwiązać równania Arnolda, o czym będzie w kolejnych notkach. Co zatem robić? Skoro zachowane są trzy składowe wektora krętu, to zachowana (stała w czasie) jest także jego długość. A długość wektora krętu jest taka sama w układzie laboratoryjnym co i w obracającym się wraz ciałem (obroty bowiem są realizowane przez przekształcenia ortogonalne a te nie zmieniają długości). Zaś kwadrat długości wektora krętu, oznaczmy go przez L2, dany jest prostym wyrażeniem:

L2 = I₁² ω₁² + I₂² ω₂² + I₃² ω₃²

Całkiem jak z energią kinetyczną, tyle, że mamy kwadraty momentów bezwładności. Możemy więc obliczyć pochodną L2 po czasie stosując dokładnie tą samą metodę co dla energii kinetycznej. Otrzymamy

dL2/dt = 2(ω₁ω₂ω₃I₁(I₂ – I₃) + ω₂ω₃ω₁I₂(I₃ – I₁) + ω₃ω₁ω₂I₃(I₁ – I₂) )

I znów możemy wymnożyć, uprościć i się wszystko uprości do zera!

Mamy zatem, kawa na ławę, dwie całkiem przyzwoite stałe ruchu dla gajki w kosmosie. To czy fika i jak fika zależy od wartości tych dwóch stałych, od tego jak energia kinetyczna i kręt mają się do siebie.

Zaczynamy powoli coś rozumieć. Do kompletnego rozumienia jeszcze wszakże daleko.