Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1780
BLOG

Równania Eulera

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 45

Pracowity był ten Euler. Wyprowadził mianowicie równania dynamiki dla ciała sztywnego (i nie tylko):

7 stycznia 1734 r. ożenił się z Katarzyną Gsell, córką artysty malarza z petersburskiego gimnazjum, pochodzącą podobnie jak Euler z rodziny szwajcarskiej. Młodzi małżonkowie kupili dom nad Newą. Doczekali się w sumie trzynaściorga potomstwa, z których tylko pięcioro przeżyło lata dziecięce

Doszliśmy, w naszej serii notek, do punktu w którym mamy już wszystkie potrzebne klocki i trzeba je tylko poskładać – by dojść do tego do czego doszedł Euler przed setkami lat. Oj pracowity był!

Nasze rozumowanie jest takie: mamy ciało sztywne, nie działają na nie żadne siły. Obraca się jakoś przy ustalonym środku masy. Ciało sztywne ma jakiś tam rozkład masy. Możemy z tego znaleźć tensor momentu bezwładności. Możemy przymocować prostokątny układ kartezjański do ciała, trzy osie obracające się wraz z ciałem i zorientowane wzdłuż osi głównych – czyli w tym przymocowanym układzie tensor momentu bezwładności jest diagonalny.

Współrzędne i składowe wektorów i tensorów względem ruchomego układu oznaczaliśmy z primami. Mamy więc jedynie trzy różne od zera składowe: Ix',Iy',Iz', albo inaczej I1',I2',I3'.

Przypomnijmy, gdy na ciało nie działają żadne zewnętrzne siły, moment pędu L jest zachowany (stały w czasie). Gdy L jest zachowany, to L' zmienia się w czasie spełniając równanie:

dL'(t)/dt  =  -omega'(t) x L'(t)

Wyprowadziliśmy to w notce Enigma omegi. Przypomnijmy wzór na L:

L = I omega

lub, w układzie ruchomym:

L'= I' omega'

Zauważmy, że I' jest stałe, nie zmienia się w czasie. Otrzymujemy więc równania:

I' d omega'/dt = -omega' x (I' omega')

Uwaga: odtąd będę opuszczał primy. Będziemy pamiętać, że wszystko odnosi się do układu ruchomego.

Piszę „równania”, w liczbie mnogiej, bo to równość dwóch wektorów, czyli jedno równanie dla każdej z trzech składowych. Macierz I jest diagonalna, więc działając na wektor mnoży po prostu każdą składową przez odpowiednią wartość na diagonali. Zatem pierwsza składowa wektora po lewej stronie to

I1 d omega1/dt

Zaś pierwsza składowa wektora po prawej stronie to

-(omega2 I3 omega3 -omega3 I2 omega2 )=(I2-I3) omega2 omega3

Mamy więc

I1 d omega1/dt = (I2-I3) omega2 omega3          (1)

Podobnie dla pozostałych dwóch składowych.

I2 d omega2/dt = (I3-I1) omega3 omega1          (2)

I3 d omega3/dt = (I1-I2) omega1 omega2          (3)

I tak dostajemy słynne równania Eulera, te same co w Wikipedii:

Równania Eulera

U nas po prawej stronie są zera, bo rozważamy ciało swobodne, na które nie działa żaden moment siły.

Dostaliśmy też to samo co dopstają górnicy, hutnicy i elektrotechnicy:

Równania Eulera

Teraz pozostaje nam jedynie zastosowanie tych równań i wydobycie z nich naszych fikołków – tych z poprzednich notek. Bo te fikołki są w równaniach ukryte. Zauważmy, że po prawej stronie równań (1),(2),(3) mamy wyrażenia kwadratowe w omega – nasze równania są więc nieliniowe. Takie niby proste zjawisko – swobodny obrót, a równania ma nieliniowe! Dziwne to. Obroty dziwne są. Tajemnice przed nami skrywają już dla zwykłej dynamiki Newtona-Eulera. A gdyby tak wejść głębiej? Czego się tam można, w tych obracaniach i wirowaniach dokopać?

Na razie jednak dokopiemy się do fikołków. W tym celu rozpiszemy nasze trzy równania wyrażając omegi przez kąty Eulera. Ale to już w kolejnych notkach.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie