Kręcimy się w kółko i w kółko

Dzieci, jakie ruchy znacie? Znamy ruchy i rozruchy. Postępowe, rewolucyjne, wsteczne. Znamy ruchy w kółko i w kólko.

I o to idzie. To jest fizyka a nie historia. Jest ruch postępowy, naprzód i naprzód, i jest ruch obrotowy, w kółko i w kółko. Ruch obrotowy to niby taki postępowy, tyle, że w kółko.

Ale to jest fizyka zaawansowana, a nie fizyka dla przedszkolaków. Ruch obrotowy nie musi być w kółko i w kółko. Może być skomplikowany i nieoczekiwany, tak jak ruch tej nakrętki fikającej swobodnie w kosmosie, to skrzydełkami do tyłu, to do przodu – efekt Dzhanibekova – przyczyna światowych potopów

W ruchu postępowym najważniejsze są prędkość, masa, pęd, zmiana pędu.

W normalnej, nieezoterycznej, fizyce związek pomiędzy pędem a prędkością jest prosty

p = mv

Pęd i prędkość to wektory. Masa to skalar. Pęd ma ten sam kierunek co prędkość. Współczynnik proporcjonalności to masa.

W ruchu obrotowym najważniejsze są prędkość kątowa, tensor momentu bezwładności, moment pędu lub kręt, zmiana momentu pędu. Związek między krętem a prędkością kątową nie jest prosty:

L = I omega

Kręt i prędkość kątowa to pseudowektory. Tensor momentu bezwładności to tensor, macierz symetryczna 3x3. Kręt nie musi mieć tego samego kierunku co prędkość kątowa. Kręt nie jest proporcjonalny do prędkości kątowej.

Kiedy kręt nie jest proporcjonalny do wektora kręcenia się omega, to czemu nazywa się krętem? Pokręcone to jakieś. Powinien się nazywać pokrętem!

Pokrętne to jest, ale można nieco odkręcić gdy się łyknie trochę algebry. Otóż z algebry wiadomo, że każda macierz symetryczna rzeczywista daje się ładnie zdiagonalizować przekształceniem ortogonalnym. W przekładzie na ludzki język oznacza to tyle, że zawsze można wybrać trzy prostopadłe osie x,y,z w ten sposób, że tensor momentu bezwładności będzie diagonalny. Jedynie I_xx,I_yy,I_zz będą różne od zera. I będą to momenty bezwładności względem osi x,y,z odpowiednio. Te osie nazywają się wtedy osiami głównymi. Uczą się o tym górnicy i hutnicy. Może niedokładnie, bowiem w lewym górnym rogu slajdu widzę Kierunek Elektrotechnika. Czyli górnicy, hutnicy i elektrotechnicy:

Kiedy ciało jest symetryczne, wtedy zgadnąć osie główne nietrudno. Weźmy na przykład takiego bąka. Ustawmy oś z wzdłuż osi bąka, zaś osie x,y dowolnie, byle prostopadle. Teraz oś z jest osią symetrii. Gdy popatrzymy na formułkę na I_xy, widzimy, że stoi tam suma iloczynów xy. Dla każdego punktu bąka z danym xy znajdzie się taki sam punt z (-x)y. Wkłady od tych dwóch punktów się zniosą. Zatem I_xy=0. Ztego samego powodu I_xz=0. Z podobnego powodu I_yz=0. Czyli przy tak wybranych osiach tensor momentu bezwładności jest diagonalny, czyli wybraliśmy osie główne.

Podobnie jasne jest jak wybrać osie główne dla cylindra, dla płytki prostokątnej. Dla płytki kwadratowej ni jest jasne czy wybierać osie do środków boków czy do rogów. Można i tak i tak, na jedno wyjdzie.

My się będziemy zajmować ciałami symetrycznymi. Ale moglibyśmy równie dobrze zająć się kartoflem – tylko po co? Kartofel możemy zawsze zastąpić płytką prostokątną o dokładnie takim samym tensorze momentu bezwładności. Tak długo jak interesuje nas ruch swobodny ruch obrotowy a nie estetyka czy smak, tak długo możemy ograniczyć się do regularnych płytek lub do układu sześciu mas punktowych jak to jest w tej mojej animacji.

Oznaczmy przez Mx masy w punktach (-a,0,0),(a,0,0), przez My masy w punktach (0,-b,0),(0,b,0), przez Mz masy w punktach (0,0,-c),(0,0,c). Wtedy tensor momentu bezwładności ma na przekątnej

I_xx = 2Mxa²

I_yy = 2My b²

I_zz = 2Mz c²

Poza przekątną są zera. I tak zrobimy. Przytwierdzimy do ciał osie obracające się wraz z ciałem tak by były to osie główne, by tensor moemntu bezwładności był diagonalny, by było prościej, ładnie, estetycznie, choćby i naszym ciałem był brzydki kartofel. Algebra mówi nam, że zawsze tak możemy zrobić. Możemy zrobić tak dla kartofla, możemy i dla nakrętki ze skrzydełkami, nawet jeśli jest niewyważona. Wyważanie nie ma dla nas znaczenia. Byleśmy osie umieścili jak trzeba.