Od czasów Newtona fizyka wie co się dzieje z ciałami na które nie działają żadne inne siły niż „siła bezwładności”: zachowany jest pęd i zachowany jest moment pędu.
Dla ciała sztywnego w kosmosie, z dala od mas, zachowany pęd to nic innego niż to, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. To nas nie interesuje. My też się możemy tak poruszać, wraz z ciałem, wtedy ciało będzie się dla nas jedynie obracać w miejscu, wokół swego środka masy. Interesuje nas natomiast prawa zachowania momentu pędu, inaczej krętu. Co to takiego ten kręt?
Kręt to proste. Górnicy i hutnicy opanowują to w pięć minut.
W samej rzeczy, możemy pójść na stronę pani profesor Katarzyny Zakrzewskiej z AGH w Krakowie, mianowicie na:
Fizyka dla Elektroniki i Telekomunikacji oraz Elektroniki 2015/16
Schodzimy do
Wykłady semestr zimowy 2015/16
Wykład 1-Wstęp
Wykład 2 - Wektory
Wykład 3- Kinematyka
Wykład 4 - Dynamika
Wyklad 5 - Bryla sztywna
….
No i właśnie to jest to: Bryła sztywna! Ściągamy i oglądamy. Slajd 4 to jest to co nam jest potrzebne:
Górnicy i hutnicy kontemplują ten obrazek i po pięciu minutach kontemplacji już wszystko wiedzą. My nie jesteśmy gorsi. Oto moje własne wrażenia z medytacji nad tym obrazkiem.
Widzimy bryłę sztywną. Zaznaczony jest środek masy. Obliczamy moment pędu względem tego punktu. Moment pędu to wektor. Oznaczony jest pogrubioną literką L. Nad L jest strzałeczka – znaczy wektor nie na żarty. Nasze ciało to jakiś blok cementu czy coś takiego. Nic złego się nie stanie jeśli przyjmiemy, że ten blok zbudowany jest z wielu grudek, powiedzmy N grudek, każda z nich o masie mn, w punkcie rn i z prędkością vn, pędem pn= mnvn. Masy mn, to skalary, zaś rn, vn i pn to wektory. Moment pędu ciała to suma momentów pędu jego grudek, zaś moment pędu każdej z grudek zawiera iloczyn wektorowy
rn x pn= mn rn x vn.
Ale vn. Jest samo iloczynem wektorowym – widzieliśmy to w notce Orły ze Lwowa i z Petersburga, formuła (7). Mamy więc do obliczenia
mn rn x (omega x rn ).
Omega nie ma znaczka n, boiwm prędkość kątowa jest ta sama dla każdej grudki – to prędkość kątowa układu trzech osi przymocowanego na sztywno do ciała – wyraziliśmy ją przez kąty Eulera i ich pochodne po czasie.
Teraz górnicy i hutnicy korzystają z tożsamości wektorowej. Faktycznie, nawet Wikipedia taki wzór podaje:
Ponadto prawdziwy jest wzór Lagrange’a, który łączy podwójny iloczyn wektorowy z iloczynem skalarnym:
Łatwo spamiętać: bac minus cab.
I tak dochodzimy do ostatniej formułki ze slajdu numer 4. Tam jest strzałeczka i napisano: Definicja momentu pędu bryły sztywnej. No, nie tyle definicja ile wynik naszych obliczeń.
Oczywiście jeśli bryła jest ciągła, sumę trzeba zastąpić całką a masy zastąpić gęstością masy, ale to już małe piwo, dla nas nieistotne.
Do slajdu 5 i następnych przejdziemy już w kolejnych notkach.
