Tak, krop za krokiem, badamy sobie różne możliwe zachowania prostych układów dynamicznych z kwadratowymi hamiltonianami. Znaleźliśmy tam już oscylatory, z ruchem okresowym, znaleźliśmy „odwrócone oscylatory”, opisujące niestabilności prowadzące do wybuchu. Matematycznie rzecz sprowadziliśmy do badania macierzy rzeczywistych 2x2 o śladzie zero. To algebra Lie grupy SL(2,R)=Sp(2,R). Skoro ślad jest równy zero, zatem do charakteryzacji dynamik używamy drugiego niezmiennika – wyznacznika. Wyznacznik dodatni i ujemny już mamy za sobą. Został wyznacznik zero. Co to za rodzina dynamik? By temat zakończyć, musimy na to pytanie odpowiedzieć.
Bezśladowe macierze X przedstawiamy jako
-y x+z
x-z y
Wyznacznik takiej macierzy to z2 - x2 - y2 . Chcąc otrzymać zero możemy, na przykład, wybrać z=1/2, x=1/2, y=0. Czemu nie? I zobaczyć co wyjdzie.
Nasza macierz X to
0 1
0 0
Całkiem miła. Odpowiadający tej macierzy macierz hamiltonianu to: h = -JX, zatem h to macierz
0 0
0 1
Też miła. Mamy
h(x,p) = p2.
Z dokładnością do współczynnika jest to hamiltonian cząstki swobodnej. Nie działają na nią żadne siły. Porusza się ruchem jednostajnym. Rysunek trajektorii w przestrzeni fazowej wygląda tak
No dobrze, a co, jeśli wybierzemy z = -1/2?
Wtedy macierz X to
0 0
1 0
Odpowiadający jej hamiltonian to
h(x,p) = -x2.
Dziwny jakiś! Zwykle mamy sumę energii kinetycznej i potencjalnej, a tu energii kinetycznej nie ma! Energia kinetyczna, wyrażona przez pęd to
p2/2m.
Znika gdy masa dąży do nieskończoności. Co się dzieje, gdy na ciało działa siła a jest ono baaardzo ciężkie? Prawie się nie rusza. Ale pęd się zwiększa, bo masa wielka. W granicy, przy nieskończonej masie, pęd będzie rósł, a ciało będzie stało w miejscu. Trajektorie w przestrzeni fazowej wyglądają wtedy tak
W praktyce, gdy patrzymy na taką jedną trajektorię, trudno zdecydować, czy jest to prosta przychodząca z nieskończoności i uchodząca w nieskończoność, czy też może wycinek elipsy o bardzo-bardzo długiej pionowej osi.? Ucieknie w nieskończoność czy też gdzieś daleko zacznie zawracać i w końcu wróci? A może i tak powróci, bo Wszechświat jest sferyczny a nie płaski. Bez zawracania wróci – tyle, że z drugiej strony.
Ale żarty na bok. Pobawiliśmy się algebrą, czas wracać do kwantów. Co nasze macierze robią z paczkami falowymi? Bo co robią z punktami, materialnymi i niematerialnymi, to już mniej więcej wiemy.
Optyka klasyczna i optyka kwantowa pełna jest macierzy 2x2. Prosty teleskop astronomiczny to macierz 2x2. Teleskop trzeba zbudować lub kupić, macierz teleskopu możemy mieć za darmo. No, nie tak znów za darmo, bo zrozumieć związek macierzy teleskopu z samym teleskopem – to wymaga odwagi i wysiłku.
W kolejnych notkach wrócimy do paczek falowych, tych pościskanych, i będziemy je ściskać macierzami. Wyjdzie z tego kwantowe ciasto.
