Spróbujmy postawić ołówek na gładkim stole, na ostrzu. Kto nie próbował? Budujemy domki z kart – jak wysoki uda nam się zbudować dopóki nie zadrży ręka, póki się dom nie zawali? Mechanika klasyczna zezwala na istnienie ołówków stojących na ostrzu w nieskończoność. Taki ołówek jest dobrze określonym rozwiązaniem równań ruchu, czy to Newtona czy to Hamiltona.
A jednak w przyrodzie takich ołówków nie obserwujemy. Przyroda, jak się wydaje, zmierza naturalnie do stanu równowagi stabilnej. Znaczy: do śmierci? Czy mechanikę klasyczną należy wyrzucić do kosza jako zabawkę matematyczną? Tu bliższą rzeczywistości wydaje się być mechanika kwantowa. W mechanikę kwantową wbudowane są niejako „fluktuacje”. Ołówek kwantowy długo nie ustoi.
W zbiorze „Selected problems in quantum mechanics”, D. ter Har, 1964, na str 22 znajdujemy taki problem:
„Ołówek o masie 10 g i długości 15 cm stoi zbalansowany na swym ostrzu na poziomej szorstkiej powierzchni. Zaniedbując wszelkie skomplikowane efekty oceń maksymalną długość czasu zanim ołówek istotnie odchyli się od pionu.”
Rozwiązanie zadania, opierające się na zasadzie nieoznaczoności Heisenberga jest na str. 194. Odpowiedź: 2.7 sec.
Jednak w r. 1986 G. Barton opublikował w Annals of Physics pracę p.t. „Quantum mechanics of the inverted oscillator potential” gdzie argumentuje, że podane rozwiązanie problemu ołówka jest niezadowalające. Problem jest trudniejszy i prosty argument oparty o zasadę nieoznaczoności nie wystarcza. Jednak Barton jawnie nie pisze czym należy zastąpić odpowiedź 2.7 sec. Z zadania. Szkoda.
Co to jest „Inverted oscillator potential?” To układ mechaniczny z Hamiltonianem typu
h(x,p) = p2 – x2.
Mamy sprężynę odpychająca zamiast przyciągającej – jak to jest w zwykłym oscylatorze. Co gorsze, czym dalej od położenia równowagi, tym siła odpychająca jest większa!
Nikt czegoś takiego w przyrodzie nie widział! A matematyka to widzi! Czy zatem matematyka widzi za dużo? Widzi rzeczy dobre, ale widzi też nonsensy, widzi rozwiązania, których przyroda nigdy nie użyje?
Świat zbudowany w oparciu o takie siły rozleciałby się w mgnieniu oka. Prawda, ale skąd mamy pewność, że się nie rozleciał? A my żyjemy w jednym z rozleciałych kawałków.....
Hmm...
A jednak: John A. Wheeler pomagał przy budowie bomb jądrowych. W jądrach dziwne rzeczy się dzieją. To i owo, tak nam się wydaje, rozumiemy, jednak wiele też nie rozumiemy. Otóż Wheeler zobaczył odwrócony potencjał oscylatora w oddziaływaniach jądrowych. Wspomina o tym w pracy „Quantum effects near a barrier maximum”.
Zjawiska niestabilne są ważne w mechanice kwantowej, nawet bardziej niż w mechanice klasycznej. Jedno ze sformułowań mechaniki kwantowej to poprzez „całkę po trajektoriach”. Po wszystkich trajektoriach. To znaczy nawet trajektorie klasycznie nieistotne lub nawet wręcz niedozwolone mogą dać istotny wkład do efektów kwantowych.
Odwrócony oscylator pojawia się przy badaniu orbit w algebrze Liego grupy Sp(2,R). Wracając do notki Kocha nie kocha czyli na troje babka wróżyła, mamy przypadek 2:
2) z2 - x2 - y2 = - r2 < 0
Wybierzmy r=1. Otrzymujemy równanie:
x2+ y2 = z2+1
To równanie hiperboloidy jednopowłokowej. Takiej jak te na obrazku poniżej:
Wybierzmy reprezentatywny punkt na hiperboloidzie, np. x = 1, y=z=0. Macierz X to
-y x+z
x-z y
Czyli, dla naszego wybranego punktu:
0 1
1 0
Ponieważ X =Jh, zatem odpowiada naszemu punktowi Hamiltonian zadany macierzą
-1 0
0 1
A to jest właśnie „odwrócony oscylator”
h(x,p) = -x2 + p2.
Mamy zatem całą hiperboloidę utkaną z podobnych oscylatorów. Mamy takich hiperboloid wiele, bo i r możemy wybierać dowolnie. Niby wszystkie one, te dynamiki, są „niefizyczne”. Czy aby jednak na pewno?
W następnej notce zajmiemy się trzecią możliwością:
3) z2 - x2 - y2 = 0
Komentarze