Notka niniejsza jest prostym przedłużeniem notki Kocha nie kocha czyli na troje babka wróżyła. Nie będę zatem powtarzał tego, co było tam. Ciągnę umowy i oznaczenia. Rozważamy orbitę
z = -√ (1+x2+y2)
To dolna powłoka dwupowłokowej hiperboloidy z obrazka:
Co to za dynamika? Lub lepiej: co to za rodzina „podobnych” dynamik? Wybieramy punkt reprezentatywny: x=y=0, z=-1. To czubek dolnej hiperboloidy. Macierz X ma przeciwny znak do tej z poprzedniej notki. Hamiltonian H też. Wychodzi:
h(x,p) = -(x2+p2).
W szkole uczą, że Hamiltonian to energia kinetyczna plus potencjalna. A tu wychodzi wszystko ujemne. Ujemna energia kinetyczna? To niefizyczne, powie jeden recenzent i rzecz odwali. Drugi, bardziej oczytany, przypomni sobie, że był taki jeden Dirac, i u niego też energia wychodziła ujemna, nawet Nobla dostał. Ale u Diraca to było relatywistycznie. A tu jest nierelatywistycznie. Podejrzane. Odwalić! Trzeci recenzent powie: no tak, wychodzi tak jako poprzednio, tyle, że czas biegnie w przeciwną stronę. Formalnie żadna wielka krzywda się nie dzieje. Procesy mechaniczne są odwracalne w czasie. No, chyba, że jest tarcie, ale tarcie to ciepło, to termodynamika. A my jesteśmy w mechanice bez tarcia.
Czwarty powie: nawet czasu odwracać nie trzeba. Wystarczy zamienić lewe na prawe. Na to samo wyjdzie. Przedtem oscylator poruszał się prawoskrętnie w przestrzeni (x,p), teraz porusza się lewoskrętnie, nawet lepiej, bo bardziej matematycznie.
Swoją drogą ciekawe, że antymateria pojawia się już w fizyce nierelatywistycznej, w dynamice Hamiltona, gdy badamy orbity grupy symplektycznej. Już Hamilton mógl przewidzieć istnienie antymaterii. A wszystko pewnie przez to, że Przyroda jest oszczędna. Ma na składzie pewną liczbę zgrabnych struktur matematycznych do wyboru. Nie ma ich aż tak wiele. Ma grupę macierzy 2x2 o wyznaczniku 1. Używa jej w nierelatywistycznej mechanice hamiltonowskiej jako Sp(2,R), używa jej też w fizyce relatywistycznej jako SL(2,R) – to podgrupa grupy SL(2,C), taka spinorowa grupa Lorentza w czasoprzestrzeni z dwoma tylko wymiarami przestrzennymi. Tak, na boku, używa jej też w przebraniu SU(1,1) – gdzie twistorami pachnie.
W notce następnej zajmiemy się dynamikami odpowiadającymi punktom na hiperboloidzie jedno- powłokowej. Co to za ZOO? Co za dziwolągi zawiera? Zobaczymy
Komentarze