Wyszło tak, że mam napisać o algebrach Lie (Chińczyk pewnie? Ale na imię miał Sophus, więc może i nie Chińczyk?). Można o nich pisać jako o osobnym temacie, ale lepiej gdy się pisze o grupach i algebrach jednocześnie. Bo nie idzie o to by napisać wiele, idzie o to by napisać zwięźle i komunikatywnie, tyle, by nazwa już nie straszyła.
Najpierw o grupach, bo grupa brzmi przyjaźniej niż algebra. Interesują nas grupy macierzy. Są i inne, ale te należą do ezoteryki, wyższego stopnia wtajemniczenia. Jak grupy macierzy, to zawsze idzie o macierze kwadratowe nxn. Na przykład 2x2, 3x3,4x4, itd. Więc grupa macierzowa G to zbiór macierzy o tej własności, że iloczyn dowolnych dwóch macierzy z grupy jest dalej w grupie, każda macierz z G jest odwracalna, i odwrotność macierzy z grupy jest także elementem tej grupy.
Oprócz grup macierzy często spotykamy się także z grupami przekształceń jakiegoś zbioru (przestrzeni). Ale przekształcenia daje się często przedstawić macierzami. Mnożeniu macierzy odpowiada składanie przekształceń, odwracaniu macierzy odpowiada odwracanie przekształceń.
Gdy pracujemy z macierzami nxn, najprostszą i największą grupą jest grupa wszystkich macierzy odwracalnych. Tą oznacza się zwykle GL(n). General Linear Group (ogólna grupa liniowa). Zwykle precyzuje się przy tym czy idzie o macierze rzeczywiste (GL(n,R)) czy może o zespolone (GL(n,C)).
Inne grupy macierzy nxn to podgrupy (podzbiory) grupy GL(n). Interesują nas przy tym grupy algebraiczne, tzn. takie gdy podzbiór G zadany jest równaniami algebraicznymi. Najlepiej zrozumieć o co idzie na przykładach.
Najprostszym przykładem jest grupa ortogonalna O(n). Macierze ortogonalne to takie, że macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej:
A-1 = AT .
Można to zapisać jako
AAT=I, I to macierz jednostkowa.
Powyższe równanie jest równaniem algebraicznym. Ogólniej rozważą się też grupy pseudo-ortogonalne. Grupa pseudo-ortogonalna O(p,q) to zbiór macierzy nxn (gdzie n=p+q) o własności:
AAT=Ip,q
gdzie Ip,q jest macierzą, która na przekątnej ma p jedynek i q minus jedynek. Poza przekątną same zera. Czasem żąda się dodatkowo by wyznacznik macierzy był jedynką. Wtedy mówimy o grupie SO(p,q). Dodajemy na początku oznaczenia literkę „S” (grupa „specjalna”).
Tyle o grupach. Możemy przejść do algebr. Przejście odbywa się, z grubsza mówiąc, poprzez funkcję wykładniczą ex. Funkcja wykładnicza ma ciekawą własność: zamienia dodawanie na mnożenie:
ex+y =exey.
Funkcję wykładniczą można zdefiniować także dla macierzy. Definicję podaje nawet polska Wikipedia pod hasłem Eksponenta macierzy:
Niewiele więcej tam możemy znaleźć. Lepiej zajrzeć do angielskiej Matrix exponential. Poniższe wyliczenie własności funkcji wykładniczej przytaczam z dokumentu Matrix Lie groups and their Lie algebras:
Można do tego dokumentu zajrzeć celem uzupełnienia informacji z mojej notki.
Algebrę Liego grupy macierzowej G można zdefiniować jako zbiór tych wszystkich macierzy X dla których eX należy do G. Gdy grupa oznacza jest jakimiś literami, zwykle dużymi, jej algebra Liego oznaczana jest tymi samymi literami, tyle, że małymi. Czasem dodatkowo, używamy czcionki jakby gotyckiej. Może dlatego, że Lie nie był Chińczykiem a Norwegiem, a wykładał w Lipsku. Na przykład algebrę Liego grup SO(n) oznaczamy symbolem so(n). Czasem zapisuje się inaczej: algebrę Liego grupy oznaczamy symbolem Lie(G).
Najważniejsze własności algebry Lie grupy G to:
-
Lie(G) jest przestrzenią liniową (rzeczywistą)
-
Jeśli X,Y należą do Lie(G) to [X,Y] = XY – YX też należy do Lie(G)
Dowody można znaleźć w linkowanym wyżej dokumencie.
Często musimy przejść od opisu grupy do opisu jej algebry Liego. Zrobimy to na przykładzie grupy ortogonalnej O(n). Mamy własność definiującą:
AAT=I
Przypuśćmy że A jest postaci A(t) = etX, gdzie t jest rzeczywistym parametrem. Zauważmy, że A(0) = I. Różniczkujemy funkcje macierzowe tak jak zwykłe funkcje, tylko trzeba uważać by macierzy nie przestawiać. Pochodną z A(t) jest XetX. Tu akurat macierze X i etX można przestawić – są przemienne. Pochodną z etX wziętą w t=0 jest po prostu X.
Podstawiamy A(t) = etX do równania definiującego grupę:
A(t)A(t)T= I.
Znaczy
exp(tX) exp(tX)T = I.
Ale exp(tX)T = exp(tXT). Zatem
exp(tX) exp(tXT) = I.
Różniczkujemy po t w zerze. Pochodna prawej strony to zero bo I od t nie zależy. Dostajemy:
X + XT = 0.
No i dostajemy algebrę Liego o(n) grupy O(n). To algebra Liego macierzy antysymetrycznych. Z innymi grupami i algebrami Liego obchodzimy się podobnie.
