Wśród nieskończoności możliwych paczek falowych słoniowate paczki gaussowskie są jakby najpoczciwsze. Najłatwiej z nimi obcować, a jednak mają też swoją głębię. Daleko im do trywialności. Jakby stworzone były na naszą ludzką miarę. Nazywam je czasem chmurkami, z tych podobnych do chmur-owieczek-baranków.
W poprzedniej notce ściskaliśmy i rozciągaliśmy taką okrągłą chmurkę, z góry w dół, a ona się rozciągała i ściskała w poprzek. Tak powstała rodzina eliptycznych kształtów. Badaliśmy zatem jednoparametrową rodzinę paczek falowych:
ψ0,u(x) = (u/π)1/4 exp(-ux2/2) , u>0.
Parametrem jest tu dodatnie u. Zmieniając u zmieniamy kształt paczki. Lub inaczej: dla każdego u mamy inny wektor w przestrzeni funkcji. Przestrzeń funkcji ψ jest nieskończenie wymiarowa. Mamy więc krzywą w tej przestrzeni:
u → ψ0,u
Dla każdego u mamy inny punkt na tej krzywej, inny eliptyczny kształt. Dziś rozciągniemy tą jednowymiarową krzywą w dwuwymiarową powierzchnię. Dodamy drugi parametr, v. Pozwolimy z, co wleciało przez okno w poprzednich notkach mieć część urojoną.
Ψu,v(x) = (u/π)1/4 exp(-(u+iv)x2/2) , u>0, z=u+iv.
Chcemy zrozumieć kształt takiej chmurki w przestrzeni fazowej. Posłużymy się do tego, jak poprzednio, transformatą Wignera.
Gdy v=0, po transformacie Wignera otrzymywaliśmy (wzór w poprzedniej notce Na światło stawiam - eliptycznie):
P(x,p) = (1/π ) exp(- ( ux2+p2/u ) )
Teraz, gdy v jest różne od zera, wzór się komplikuje. Wychodzi (znów, daje się tę transformat e Wignera łatwo wyliczyć korzystając z tablic całek lub używając programu, np. powszechnie dostępna Maxima):
P(x,p) = (1/π ) exp(- ( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u )
Gdy położymy v=0, sprowadza się to do poprzedniego wzoru. Możemy próbować malować te funkcje dla różnych u,v. Zanim jednak zaczniemy malować spróbujmy wpierw zgadnąć jakie to kształty otrzymamy. Poprzednio malowaliśmy elipsy poziomnicy ux2+p2/u = 1 . Tym razem nasza poziomnica będzie miała równanie
( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u = 1.
Mnożąc obie strony przez u dostajemy
(u2+v2)x2+ p2+ 2pvx -u = 0.
Jest to funkcja kwadratowa od x i p. Opisuje jakąś krzywą stożkową. Uprzedzę z góry, że będzie to elipsa.
No już dobrze, namaluję taką jedną dla u=1,v=1:
Jak kształt i orientacja elipsy zależy od u i v w ogólnym przypadku? Tym się zajmiemy w kolejnej notce. Można do tego się zabierać na różne sposoby. Można na przykład diagonalizować macierz formy kwadratowej. Można rozwiązywać równania jak w tym dokumencie:
Krzywe stopnia drugiego. Krzywe stożkowe
Zadanie jest takie: wyrazić półosie elipsy i jej kąt obrotu przez u,v. Elementarna, choć nieco żmudna geometria. Jeszcze nie kwantowa, ale już blisko....
W tych elementarnych problemach kryje się, jak zobaczymy, głębia. Trzeba tylko nauczyć się w tę głębię zagłębiać. Sam się uczę.
Komentarze