Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
447
BLOG

Kwantowa eliptyczna głębia

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 9

Wśród nieskończoności możliwych paczek falowych słoniowate paczki gaussowskie są jakby najpoczciwsze. Najłatwiej z nimi obcować, a jednak mają też swoją głębię. Daleko im do trywialności. Jakby stworzone były na naszą ludzką miarę. Nazywam je czasem chmurkami, z tych podobnych do chmur-owieczek-baranków.

W poprzedniej notce ściskaliśmy i rozciągaliśmy taką okrągłą chmurkę, z góry w dół, a ona się rozciągała i ściskała w poprzek. Tak powstała rodzina eliptycznych kształtów. Badaliśmy zatem jednoparametrową rodzinę paczek falowych:

ψ0,u(x) = (u/π)1/4 exp(-ux2/2) , u>0.

Parametrem jest tu dodatnie u. Zmieniając u zmieniamy kształt paczki. Lub inaczej: dla każdego u mamy inny wektor w przestrzeni funkcji. Przestrzeń funkcji ψ jest nieskończenie wymiarowa. Mamy więc krzywą w tej przestrzeni:

u → ψ0,u

Dla każdego u mamy inny punkt na tej krzywej, inny eliptyczny kształt. Dziś rozciągniemy tą jednowymiarową krzywą w dwuwymiarową powierzchnię. Dodamy drugi parametr, v. Pozwolimy z, co wleciało przez okno w poprzednich notkach mieć część urojoną.

Ψu,v(x) = (u/π)1/4 exp(-(u+iv)x2/2) , u>0, z=u+iv.

Chcemy zrozumieć kształt takiej chmurki w przestrzeni fazowej. Posłużymy się do tego, jak poprzednio, transformatą Wignera.

Gdy v=0, po transformacie Wignera otrzymywaliśmy (wzór w poprzedniej notce Na światło stawiam - eliptycznie):

P(x,p) = (1/π ) exp(- ( ux2+p2/u ) )

Teraz, gdy v jest różne od zera, wzór się komplikuje. Wychodzi (znów, daje się tę transformat e Wignera łatwo wyliczyć korzystając z tablic całek lub używając programu, np. powszechnie dostępna Maxima):

P(x,p) = (1/π ) exp(- ( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u )

Gdy położymy v=0, sprowadza się to do poprzedniego wzoru. Możemy próbować malować te funkcje dla różnych u,v. Zanim jednak zaczniemy malować spróbujmy wpierw zgadnąć jakie to kształty otrzymamy. Poprzednio malowaliśmy elipsy poziomnicy ux2+p2/u = 1 . Tym razem nasza poziomnica będzie miała równanie

( (u2+v2)x2+ p2+ 2pvx ) / u = 1.

Mnożąc obie strony przez u dostajemy

(u2+v2)x2+ p2+ 2pvx -u = 0.

Jest to funkcja kwadratowa od x i p. Opisuje jakąś krzywą stożkową. Uprzedzę z góry, że będzie to elipsa.

No już dobrze, namaluję taką jedną dla u=1,v=1:

Elipsa ukośna

Jak kształt i orientacja elipsy zależy od u i v w ogólnym przypadku? Tym się zajmiemy w kolejnej notce. Można do tego się zabierać na różne sposoby. Można na przykład diagonalizować macierz formy kwadratowej. Można rozwiązywać równania jak w tym dokumencie:

Krzywe stopnia drugiego. Krzywe stożkowe

Zadanie jest takie: wyrazić półosie elipsy i jej kąt obrotu przez u,v. Elementarna, choć nieco żmudna geometria. Jeszcze nie kwantowa, ale już blisko....

W tych elementarnych problemach kryje się, jak zobaczymy, głębia. Trzeba tylko nauczyć się w tę głębię zagłębiać. Sam się uczę.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie