Zacznijmy od chmurki regularnej, okrągłej. Ta opisywana jest paczką falową o kształcie kapelusza Gaussa:
ψ0(x) = c exp(-x2/2)
Trzeba dobrać stałą c tak, by funkcja była unormowana, by długość wektora ψ0 wynosiła 1. Kwadrat długości wektora to całka (po całej prostej) z |ψ0(x)|2. Ponieważ całka z exp(-x2) jest równa √ π , zatem
c = 1/π1/4.
No i już mamy:
ψ0(x) = exp(-x2/2)/π1/4.
Rozkład prawdopodobieństwa to p(x)= |ψ0(x)|2= exp(-x2)/π1/2. Możemy zrobić wykres tej gęstości prawdopodobieństwa:
Ot, gaussowski kapelusik z centrum w zerze. Funkcja reprezentuje stan podstawowy kwantowego oscylatora harmonicznego. Klasycznie byłoby to po prostu stałe położenie x=0. A kwantowo mamy rozmycie wokół zera. Wielkość rozmycia mierzymy standardowym odchyleniem. To pierwiastek z całki z x2p(x). W naszym przypadku ta całka wynosi 1/2, zatem standardowe odchylenie Δx dla naszej paczki falowej to 1/√2.
Tak jest dla położeń. A jak jest dla pędów? By to zobaczyć trzeba zrobić transformatę Fouriera naszej paczki:
Fψ0(p) = (1/√(2π)) Całka po całej prostej po x-ach z exp(-ipx) ψ0(x)
O dziwo wychodzi dokładnie sama:
Fψ0(p) = exp(-p2/2)/π1/4.
No i wykres rozkładu prawdopodobieństwa dla pędów jest dokładnie taki sam. Z największym prawdopodobieństwem pęd jest równy zeru, ale rozmywa się wokół tego zera. Standardowe odchylenie Δp jest też równe 1/√2.
Iloczyn standardowych odchyleń:
Δx Δp = 1/2.
W tych naszych rachunkach bezceremonialnie używam układu jednostek w którym stała Plancka ℏ =1, masa=1,częstość ω =1. Nasza paczka to stan o minimalnej nieoznaczoności Δx Δp. Zgodnie z mechaniką kwantową (zasada nieoznaczoności Heisenberga) ten iloczyn mniejszy niż 1/2 już być nie może. Może być natomiast większy. Nasz gaussowski kapelusz należy więc do wyjątków. Jest szpecjalny!
A teraz chcemy zobaczyć jak ta nasza paczka wygląda na płaszczyźnie (x,p). Do tego służy transformata Wignera. Ta robi z funkcji od jednej zmiennej funkcję od dwóch zmiennych. Wzorek podawałem w notce Rozkład Wignera i kwantowe upiory. Przypomnę:
Całeczkę możemy wyrachować (pamiętajmy, u nas ℏ =1). Wychodzi
P(x,p) = exp (-(x2+y2))/π.
Mamy funkcję od dwóch zmiennych. Możemy ją malować na dwa sposoby. Możemy malować w trzech wymiarach jako kapelusz/wybrzuszanie:
albo możemy malować kolorując, w dwóch wymiarach, jako chmurkę czy słoneczko:
Pamiętajmy, że na razie nie bawimy się w uruchamianie czasu. Na razie czas stoi. Uruchomimy czas gdy na to przyjdzie czas. Póki co czas stoi, zatem i nie przychodzi.
A teraz: otwieramy okno, by mogło weń wpaść nieco przedwiosennego powietrza (ach, jakie ono zdrowe!), i oto, przez okno wpada też liczba zespolona z. Wpada przez okno i nie pytając nikogo o zgodę ładuje się w naszą funkcję ψ0(x), wpycha się przed x2. I tak powstaje nowa funkcja:
ψ0,z(x) = c exp(-zx2/2)
No i całą zabawę trzeba zaczynać od początku. Po co nam to było, to otwieranie okna? No, ale za późno. Z konsekwencjami będziemy sobie radzić w następnej notce.
Komentarze