Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
753
BLOG

Minimalna nieoznaczoność kwantowej paczki Gaussa

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 12

Zacznijmy od chmurki regularnej, okrągłej. Ta opisywana jest paczką falową o kształcie kapelusza Gaussa:

ψ0(x) = c exp(-x2/2)

Trzeba dobrać stałą c tak, by funkcja była unormowana, by długość wektora ψ0 wynosiła 1. Kwadrat długości wektora to całka (po całej prostej) z |ψ0(x)|2. Ponieważ całka z exp(-x2) jest równa √ π , zatem

c = 1/π1/4.

No i już mamy:

ψ0(x) = exp(-x2/2)/π1/4.

Rozkład prawdopodobieństwa to p(x)= |ψ0(x)|2= exp(-x2)/π1/2. Możemy zrobić wykres tej gęstości prawdopodobieństwa:

Gaussian

Ot, gaussowski kapelusik z centrum w zerze. Funkcja reprezentuje stan podstawowy kwantowego oscylatora harmonicznego. Klasycznie byłoby to po prostu stałe położenie x=0. A kwantowo mamy rozmycie wokół zera. Wielkość rozmycia mierzymy standardowym odchyleniem. To pierwiastek z całki z x2p(x). W naszym przypadku ta całka wynosi 1/2, zatem standardowe odchylenie Δx dla naszej paczki falowej to 1/√2.

Tak jest dla położeń. A jak jest dla pędów? By to zobaczyć trzeba zrobić transformatę Fouriera naszej paczki:

0(p) = (1/√(2π)) Całka po całej prostej po x-ach z exp(-ipx) ψ0(x)

O dziwo wychodzi dokładnie sama:

0(p) = exp(-p2/2)/π1/4.

No i wykres rozkładu prawdopodobieństwa dla pędów jest dokładnie taki sam. Z największym prawdopodobieństwem pęd jest równy zeru, ale rozmywa się wokół tego zera. Standardowe odchylenie Δp jest też równe 1/√2.

Iloczyn standardowych odchyleń:

Δx Δp = 1/2.

W tych naszych rachunkach bezceremonialnie używam układu jednostek w którym stała Plancka ℏ =1, masa=1,częstość ω =1. Nasza paczka to stan o minimalnej nieoznaczoności Δx Δp. Zgodnie z mechaniką kwantową (zasada nieoznaczoności Heisenberga) ten iloczyn mniejszy niż 1/2 już być nie może. Może być natomiast większy. Nasz gaussowski kapelusz należy więc do wyjątków. Jest szpecjalny!

A teraz chcemy zobaczyć jak ta nasza paczka wygląda na płaszczyźnie (x,p). Do tego służy transformata Wignera. Ta robi z funkcji od jednej zmiennej funkcję od dwóch zmiennych. Wzorek podawałem w notce Rozkład Wignera i kwantowe upiory. Przypomnę:

Wigner distribution

Całeczkę możemy wyrachować (pamiętajmy, u nas ℏ =1). Wychodzi

P(x,p) = exp (-(x2+y2))/π.

Mamy funkcję od dwóch zmiennych. Możemy ją malować na dwa sposoby. Możemy malować w trzech wymiarach jako kapelusz/wybrzuszanie:

Wigner Gaussian

albo możemy malować kolorując, w dwóch wymiarach, jako chmurkę czy słoneczko:

Wigner Gaussian

Pamiętajmy, że na razie nie bawimy się w uruchamianie czasu. Na razie czas stoi. Uruchomimy czas gdy na to przyjdzie czas. Póki co czas stoi, zatem i nie przychodzi.

A teraz: otwieramy okno, by mogło weń wpaść nieco przedwiosennego powietrza (ach, jakie ono zdrowe!), i oto, przez okno wpada też liczba zespolona z. Wpada przez okno i nie pytając nikogo o zgodę ładuje się w naszą funkcję ψ0(x), wpycha się przed x2. I tak powstaje nowa funkcja:

ψ0,z(x) = c exp(-zx2/2)

No i całą zabawę trzeba zaczynać od początku. Po co nam to było, to otwieranie okna? No, ale za późno. Z konsekwencjami będziemy sobie radzić w następnej notce.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie