W kwantowej dżungli grasują kwantowe tygrysy. Kwantowy tygrys jest jednocześnie w wielu miejscach – trudno w niego trafić! Oto jak rzecz przedstawiał Gamow s swojej pięknej książeczce „Mister Tompkins w krainie czarów” ( w nowym wydaniu, Prószyński i ska, „Mister” stał się „Panem”)
Tygrys oczywiście pręży się do skoku, zamieńmy go oscylatorem i zbadajmy sprawę dokładniej. Oscylator co prawda nie taki straszny jak tygrys, za to formuły matematyczne mogą straszyć. I dobrze – tak ma być, bo tak jest. Ludzie płacą pieniądze by pojechać do dżungli i się tam dobrze przestraszyć.
Kwantowy tygrys-oscylator jest rozmyty. To rozmycie trzeba zmierzyć. Istnieje standardowa miara rozmycia – odchylenie standardowe. Nawet GUS wie co to takiego. Nazwiemy je krótko: niepewnością. Heisenberg też to wiedział, no i wyliczył, że dla dowolnego stanu kwantowego iloczyn niepewności pędu i położenia nigdy ale to nigdy nie może być mniejszy niż połowa stałej Plancka ℏ (tak naprawdę zrobił to Kennard, a nie Heisenberg, ale nazwa przylgnęła do Heisenberga). W Wikipedii nazywa się to „zasadą nieoznaczoności”:
Wyliczmy odchylenia standardowe położenia i pędu dla kwantowego oscylatora harmonicznego w stanach o określonych energiach. Rozkłady prawdopodobieństw w tych stanach znamy. Pokazywałem ich animację w notce Kwantowe samouctwo. Gęstość prawdopodobieństwa to kwadrat modułu funkcji falowej, wzory tam były, rozkład prawdopodobieństwa położeń w stanie o n kwantach energii dana jest wzorem:
Hn to wielomiany Hermite'a.
To właśnie funkcje Pn(x) malowałem na animacji dla różnych n:
Rozkłady są symetryczne względem zera. Stąd średnie położenie jest zerem. By wyliczyć kwadrat odchylenia standardowego trzeba wyliczyć całkę z x2 Pn(x). Można to zrobić czy to korzystając z tablic całek, czy to z programu. Ja korzystam z programu Mathematica. Program nie zawsze daje inteligentne odpowiedzi. W tym konkretnym przypadku, przy niesprecyzowanym n, Mathematica twierdzi, że całka jest rozbieżna. Ale dla każdego konkretnego n całkę wylicza i nawet potrafi zgadnąć ogólną formułę. A ogólna formuła na standardowe odchylenie Δ x w stanie z numerkiem n jest taka:
Δ x = √ (n+1/2)
A co z Δ p?
Przypomnę fragment z notki Prawdopodobieństwa, których nie rozumiem:
Z oscylatorem jednak mamy do czynienia z wyjątkową symetrią pomiędzy położeniem i pędem. W przyjętym przeze mnie układzie jednostek (masa 1, częstość 1, stała sprężystości 1) wyrażenie na energię oscylatora o pędzie p i położeniu x to
E = (p2 + x2)/2
Pełna symetria pomiędzy x i p.
Dla pędów otrzymamy dokładnie ten sam wynik:
Δ p = √ (n+1/2)
Mnożąc dostajemy
Δ x Δ p = (n+1/2)
Iloczyn nieoznaczoności pędu i położenia rośnie wraz n. Dla n=0 jest najmniejszy. Wtedy iloczyn jest równy 1/2. Ponieważ pracuję w układzie jednostek gdzie stała Plancka ℏ = 1, widzimy, że dla n=0 (stan podstawowy, stan o najniższej energii, „próżnia kwantowa”) osiągamy minimum nieoznaczoności, to minimum poza które zasada niepewności zejść nie pozwala, ale pozwala je osiągnąć. W innych stanach, w stanach wzbudzonych oscylatora, tygrysy rozmywają się tak w położeniach jak i w pędach. W tygrysa o dużej energii trafić w ogóle nie sposób! Hmmm... A jednak w tygrysy trafiamy! Liczby mogą wprowadzać w błąd, zwłaszcza gdy się nie zwraca uwagi na miana fizyczne, gdy się wybiera jednostki zacierające różnice pomiędzy tym co „dla nas”, ludzi, małe a co duże. Trzeba będzie się tym zająć, wrócić do metrów i kilogramów ….
Komentarze