Kiedyś, nie tak dawno zresztą, ludzie wierzyli, że co stworzone przez Boga musi być piękne i proste. Johannes Kepler wydedukował, że orbity planet są raczej elipsami niż okręgami, co mogli odkryć znacznie wcześniej inni, ale wiara i przesądy przeszkadzały im w skutecznym myśleniu. Kepler potrafił części tych przesądów się wyzbyć i uczynić istotny krok do przodu.
Jak czytam w książce Hellera „Bóg i geometria” (str. 204):
„Siedemnastowieczni uczeni (łącznie z Galileuszem) nie chcieli przyjąć do wiadomości odkrycia Keplera, bo przecież elipsy nie mają najdoskonalszego kształtu. Nie wiedzieli, że platońskiej doskonałości należy szukać w równaniach, a nie w ich rozwiązaniach.”
No, fajnie, ale w jakich równaniach? I jak tej doskonałości w równaniach szukać? Jakie kryteria estetyczne, filozoficzne i teologiczne stosować gdy zabieramy się do oceny doskonałości równań? Równania chyba wpierw dobrze rozumieć, a to wymaga wiedzy.
W dodatku dziś zaczynamy coraz częściej poważnie myśleć o tym, że może Bóg nie pisał równań, może tworzył algorytmy, a te już pisały równania. A algorytmy mogą same tworzyć algorytmy. Co więc było na początku? Jaki kod? Jaki język? Jaki algorytm?
Tak czy siak, okręgi są fajne, ale elipsy jeszcze fajniejsze. Okręgi przydają się do sinusów i kosinusów, a te przydają się do badania prostych przebiegów okresowych. Elipsy przydają się do sinusów, kosinusów i dinusów eliptycznych, a te przydają się do badania mniej trywialnych przebiegów okresowych, takich jak. np. fikające gajki Dżanibekowa i rakiety tenisowe oraz wahadła fizyczne i sferyczne.
Obiecałem w komentarzu pod poprzednią notką, że rozwiążę równania Eulera dla swobodnego asymetrycznego bąka. No i rozwiążę, ale co to znaczy „rozwiązać” czy „znaleźć rozwiązanie”? Znaleźć rozwiązanie znaczy, mniej lub więcej, wyrazić coś dzikiego przez coś oswojonego. Na przykład rozwiązaniem równania x2 =2 jest pierwiastek z dwóch. Ale jest to faktycznie rozwiązaniem jedynie dla kogoś, kto wie co to jest pierwiastek kwadratowy, kto wie, że pierwiastek z dwóch to liczba rzeczywista, niewymierna, w przybliżeniu równa 1.4, no trochę więcej, 1.41, no trochę więcej, w przybliżeniu 1.414, a już na pewno mniej niż 1.5.
Czyli najpierw trzeba zawsze coś trochę oswoić, potem dopiero można dzikie, nieoswojone rzeczy rozwiązywać.
My musimy najpierw oswoić, choć trochę, by nie były całkiem dzikie, funkcje eliptyczne sn,cn i dn. Są to eliptyczne odpowiednika sinusa, kosinusa i jedynki. Normalnie powinno się tego uczyć w szkole czy na studiach, ale się nie uczy, „bo nie ma takiej potrzeby”. A skoro się tego nie uczy, to niewielu ludzi to stosuje, zatem i potrzeby się zbyt często nie pojawiają. Pewnie za sto lub 200 lat, gdy przekonamy się, że z liniowością już daleko nie zajedziemy, że prawdziwa fizyka, chemia, astronomia, biologia, geologia, meteorologia zaczynają się przy zjawiskach nieliniowych, wtedy funkcje eliptyczne będą wykładane już w przedszkolu. Ale może i nie będą, bo za sto czy dwieście lat ludzie przerzucą się na życie w wirtualnej rzeczywistości i nie będą się martwić pytaniami jaka ta nasza rzeczywistość jest naprawdę.
Zatem przyswoimy sobie najpierw eliptycznego sinusa. Aby był eliptyczny powinniśmy zacząć od elipsy. Elipsę narysować łatwo, wystarczą dwa gwoździe i sznurek (nie licząc ołówka)
Nie, nie to miałem na myśli. To:
Robienia dziur w podłodze (jak to robi rysownik w powyższym filmie) należy przy tym raczej unikać.
Elipsa ma też równanie:
Oswajając elipsę i jej pobratymców załóżmy, że a>b. Charakteryzacją eliptyczności jest wtedy ekscentryczność lub mimośród:
http://media.sott.net/arkblog/mimosrod.gif
Dobrze być trochę ekscentrycznym. Dlatego temat będziemy kontynuować w następnych notkach.
