Pracowity był ten Euler. Wyprowadził mianowicie równania dynamiki dla ciała sztywnego (i nie tylko):
7 stycznia 1734 r. ożenił się z Katarzyną Gsell, córką artysty malarza z petersburskiego gimnazjum, pochodzącą podobnie jak Euler z rodziny szwajcarskiej. Młodzi małżonkowie kupili dom nad Newą. Doczekali się w sumie trzynaściorga potomstwa, z których tylko pięcioro przeżyło lata dziecięce
Doszliśmy, w naszej serii notek, do punktu w którym mamy już wszystkie potrzebne klocki i trzeba je tylko poskładać – by dojść do tego do czego doszedł Euler przed setkami lat. Oj pracowity był!
Nasze rozumowanie jest takie: mamy ciało sztywne, nie działają na nie żadne siły. Obraca się jakoś przy ustalonym środku masy. Ciało sztywne ma jakiś tam rozkład masy. Możemy z tego znaleźć tensor momentu bezwładności. Możemy przymocować prostokątny układ kartezjański do ciała, trzy osie obracające się wraz z ciałem i zorientowane wzdłuż osi głównych – czyli w tym przymocowanym układzie tensor momentu bezwładności jest diagonalny.
Współrzędne i składowe wektorów i tensorów względem ruchomego układu oznaczaliśmy z primami. Mamy więc jedynie trzy różne od zera składowe: Ix',Iy',Iz', albo inaczej I1',I2',I3'.
Przypomnijmy, gdy na ciało nie działają żadne zewnętrzne siły, moment pędu L jest zachowany (stały w czasie). Gdy L jest zachowany, to L' zmienia się w czasie spełniając równanie:
dL'(t)/dt = -omega'(t) x L'(t)
Wyprowadziliśmy to w notce Enigma omegi. Przypomnijmy wzór na L:
L = I omega
lub, w układzie ruchomym:
L'= I' omega'
Zauważmy, że I' jest stałe, nie zmienia się w czasie. Otrzymujemy więc równania:
I' d omega'/dt = -omega' x (I' omega')
Uwaga: odtąd będę opuszczał primy. Będziemy pamiętać, że wszystko odnosi się do układu ruchomego.
Piszę „równania”, w liczbie mnogiej, bo to równość dwóch wektorów, czyli jedno równanie dla każdej z trzech składowych. Macierz I jest diagonalna, więc działając na wektor mnoży po prostu każdą składową przez odpowiednią wartość na diagonali. Zatem pierwsza składowa wektora po lewej stronie to
I1 d omega1/dt
Zaś pierwsza składowa wektora po prawej stronie to
-(omega2 I3 omega3 -omega3 I2 omega2 )=(I2-I3) omega2 omega3
Mamy więc
I1 d omega1/dt = (I2-I3) omega2 omega3 (1)
Podobnie dla pozostałych dwóch składowych.
I2 d omega2/dt = (I3-I1) omega3 omega1 (2)
I3 d omega3/dt = (I1-I2) omega1 omega2 (3)
I tak dostajemy słynne równania Eulera, te same co w Wikipedii:
U nas po prawej stronie są zera, bo rozważamy ciało swobodne, na które nie działa żaden moment siły.
Dostaliśmy też to samo co dopstają górnicy, hutnicy i elektrotechnicy:
Teraz pozostaje nam jedynie zastosowanie tych równań i wydobycie z nich naszych fikołków – tych z poprzednich notek. Bo te fikołki są w równaniach ukryte. Zauważmy, że po prawej stronie równań (1),(2),(3) mamy wyrażenia kwadratowe w omega – nasze równania są więc nieliniowe. Takie niby proste zjawisko – swobodny obrót, a równania ma nieliniowe! Dziwne to. Obroty dziwne są. Tajemnice przed nami skrywają już dla zwykłej dynamiki Newtona-Eulera. A gdyby tak wejść głębiej? Czego się tam można, w tych obracaniach i wirowaniach dokopać?
Na razie jednak dokopiemy się do fikołków. W tym celu rozpiszemy nasze trzy równania wyrażając omegi przez kąty Eulera. Ale to już w kolejnych notkach.
Komentarze