Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
870
BLOG

Kwantowe egzorcyzmy

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 27

W tytule poprzedniej notki pojawiło się słówko „upiory”. Upiorne tam były „ujemne prawdopodobieństwa”. Ujemnymi prawdopodobieństwami, co matematycznie prawdopodobieństwami nie są (w ogóle nie wiadomo czym są), mechanika kwantowa nas straszy, gdy chcemy wnikać w sprawy, które leżą za kwantową zasłoną. „Nie wchodzić – straszy!” Chcieliśmy analizować w klasycznej przestrzeni fazowej zachowanie oscylujących kwantowych obiektów, no i nas postraszyło. Gdy w domu straszy są dwa rozwiązania: wezwać parapsychologa lub wezwać egzorcystę. Czasem jedno okaże się skuteczne, czasem drugie, czasem ani jedno ani drugie. Można też po prostu taki dom omijać. Straszy? Niech sobie straszy. Są domy w których (jeszcze) nie straszy.

W naszym przypadku straszą stany kwantowe o określonej energii. Tam wszystko drga, tym bardziej im wyższa jest energia. Ale kto nam każe określać energię? Czy w ogóle jesteśmy w stanie to zrobić? Zapewne czasem tak, ale, dla świętego spokoju, a spokój nam się w trudnych czasach przydaje, możemy się od określonej energii odżegnać. Przecież w przestrzeni Hilberta kwantowego oscylatora jest wiele innych stanów. Czemu się im nie przyjrzeć? Może znajdziemy jakieś przydatne a nie wymagające egzorcyzmów?

Z takimi innymi miłymi z wyglądu stanami już się zetknęliśmy – w notce „Kwantowy przystanek”. W reprezentacji Bargmanna-Segala dane są prostymi wzorami:

Fw(z) = exp( √2 wz ) / exp( u2+v2 ),

w = u + iv.

Nazwałem je tam, bez wyjaśnienia dlaczego, „stanami koherentnymi”. Tak je fizycy nazywają. Lasery są znane z „koherencji”, a te właśnie stany z laserową koherencją mają sporo wspólnego. Ale to inny temat, nie na dziś.

Stany o określonej energii to potęgi z. Stany koherentne mają z w argumencie funkcji exp. Taką funkcję można rozwinąć w szereg potęgowy. W tym szeregu będą występować wszystkie potęgi z. Oznacza to, że taki stan koherentny jest jakąś superpozycją stanów o wszelkich możliwych energiach. Każda energia z osobna straszy, ale gdy się je wszystkie sprytnie pozbiera do kupy w jeden stan koherentny, wtedy, jak zobaczymy, żaden egzorcysta nie będzie potrzebny.

Najpierw jednak zredefiniuję nasze stany koherentne. Mianowicie to co było 2u, nazwę u, to co było 2v nazwę v. Taka umowa, jak się okaże, pozwoli nam na prostszą identyfikację roli parametrów u i v. Oto więc nowa definicja stanów koherentnych:

Fw(z) = exp( wz / √2 ) / exp( ( u2+v2 )/4 ),

w = u+iv

Mamy te nasze stany w przestrzeni Bargmanna-Segala. Chcemy je przenieść do zwykłej przestrzeni, gdzie funkcje falowe opisywane są zespolonymi funkcjami od zmiennej położeniowej x. Już to raz robiliśmy, w notce Kwantowe górki i pagórki. Używaliśmy tam formuły

Kwantowe egzorcyzmy

Możemy użyć tej formuły jeszcze raz, tym razem do naszych funkcji Fw(z). Całka jest tu do wyliczenia. Ja sam liczenia całek unikam, od czego bowiem mądry komputer? Lepszy niż tablice całek. Komputer po sekundzie wypluwa wynik. Oto ten wynik

Kwantowe egzorcyzmy

Wygląda trochę groźnie, ale przecież nie brak nam odwagi. Liczymy zatem gęstość rozkładu quasi-prawdopodobieństwa według przepisu Wignera, używając formuły z poprzedniej notki (tam właśnie dostawaliśmy „ujemne prawdopodobieństwa” dla stanów o określonej energii, tam straszyło). Znów trzeba wyliczać całkę, znów uruchamiam komputer, każe mu wynik ostateczny uprościć, i co wychodzi?

Kwantowe egzorcyzmy

Oto jak to wygląda dla u=1,v=2:

Kwantowe egzorcyzmy

 

Wyszedł porządny gaussowski kapelusz, z centrum w x=1,p=2. Nic tu nie ma ujemnego, wszystko dodatnie, gęstość prawdopodobieństwa jak trzeba. Strachy i upiory zniknęły. Stany koherentne są dobre! Są świetne!

Wiemy też co robią parametry u i v. Parametr u przesuwa centrum kapelusza o u w położeniach, parametr v przesuwa centrum kapelusza o v w pędach. Przesunąć w położeniach to po prostu wziąć taki oscylator i go przestawić w inne miejsce. Przesunąć w pędach to prostu wziąć taki oscylator i postawić go na jadącym wózku. Przyjrzymy się tym stanom koherentnym bliżej w kolejnych notkach.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie