Nauka jazdy w kwantowych wszechświatach

 

Paradoks kłamcy zwany także paradoksem Eubulidesa lub antynomią kłamcy, mówi o niemożliwości zdefiniowania pojęcia prawdy w obrębie języka, do którego to pojęcie się odnosi.

 

Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. …. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry'ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

 

 

Pogrubiłem tu to „odwoływanie się do samego siebie”. Bo w tym i cała rzecz. Niby tak nie wolno, bo to prowadzi do paradoksów. Nie wolno, ale trzeba! W tym cała rzecz. Trzeba i wolno, pod warunkiem, że czyni się to z umiarem. Paradoksów nie należy się obawiać. O paradoksy trzeba się ocierać, trzeba umieć ułożyć sobie z nimi życie.

 

Na przykład: czy można myśleć o swoich myślach? Można. Czy można myśleć o myśleniu o swoich myślach? Trudniej, ale też można. A nawet trzeba, jeśli chce się żyć w przytomności a nie jako zombie. Autoreferencji nie należy się obawiać, trzeba z niej korzystać!

 

Tyle tytułem wstępu. Dalszy ciąg nawiąże do do tematu autoreferencji, choć tylko przez podobieństwo dość płytkie. Niemniej powyższy wstęp powinien złagodzić możliwy szok pierwszego wrażenia po zetknięciu się z konstrukcjami matematycznymi co są pestką dla matematyka, ale mogłyby przyprawić o ból głowy kogoś kto nie ma matematycznie wyćwiczonego umysłu. Być może przesadzam, ale być może nie.

 

Jakoś nikt specjalnie nie protestował pod poprzednią notką. Zaprotestował jeden komentator z tych mających skłonności do stwarzania mieszania, że „twierdzenie fałszywe”. Ale nie znalazł poklasku, więc nie kontynuował. Uznał zatem zapewne, że twierdzenie jednak prawdziwe i może nawet je przeczytał ze zrozumieniem?

 

Pojawił się także komentarz, że może założeń jest zbyt wiele? Ale po mojej odpowiedzi, że nie za wiele bo to i tamto, i ten protest jakoś ucichł.

 

Twierdzenie z poprzedniej notki, „Kot Schrodingera uczy się pływać”, dotyczyło macierzy (operatorów) P i Q

 

Całą mechanikę kwantową, wszystkie jej wyniki, można (przy dobrej woli, samozaparciu, i odpowiedniej technice – tu konieczne jest przymrużenie oka) z tego jednego równania wydedukować. To najważniejsza formuła całej fizyki.

Co więcej, choć istnieją grubaśne książki atakujące słynne E = mc², to nie widziałem żadnego kamikaze rzucającego się na to równanie z „i”, pi, i stałą Plancka h po prawej stronie. Nie wiem, może odwagi zabrakło? Może przytłacza swą monumentalnością?

 

Dyskutowaliśmy już nieco sprawę czym są te P i Q. Nie mogą to być liczby, bo mnożenie liczb jest przemienne. Nie mogą to być macierze o skończonej liczbie wierszy i kolumn. Nawet gdy dopuścimy nieskończoną liczbę wierszy i kolumn, nawet wtedy nie mogą te macierze mieć skończonej normy (tego dotyczyło twierdzenie z poprzedniej notki z naszkicowanym tam dowodem).

 

Zatem P i Q to egzotyczne stwory. Egzotyki się wszak nie lękamy, egzotyka ciekawa nawet jest. Zatem w tę egzotykę dalej wejdziemy, pogłębimy jej egzotyczność.

 

Powiedzmy, że P i Q to jakieś macierze-operatory. Skoro tak, to zapewne na czymś operują. Macierze zwykle operują na wektorach. Nasze P i Q też. Zapamiętajmy to, bo te wektory okażą się ważne.

 

Przypomnę, że w poprzednich notkach mimochodem zaznaczałem, że te nasze P i Q związane są z ruchem na prostej, w jednym wymiarze. A przecież nasza przestrzeń, ta w której mieszkamy i przez którą podróżujemy jest trójwymiarowa a nie jednowymiarowa. Jednowymiarowy to, w przybliżeniu, jest tramwaj, który z szyn zjechać w bok nie może i wzlecieć w górę nie potrafi. A jak już coś takiego zajdzie, nazywa się to katastrofą.

 

Cząstki, ciała, którymi zajmuje się fizyka, mają na ogół do dyspozycji trójwymiarową przestrzeń. Mamy tak osie x,y,z. Położenie to trójka liczb a nie jedna liczba. Pęd to wektor o trzech składowych. Chcąc zatem od-trywializować nasze równanie potrzebne są trzy składowe pędu i trzy składowe położenia. Mówimy, że cząstka na prostej ma jeden stopień swobody, na płaszczyźnie – dwa, w przestrzeni ma trzy stopnie swobody. Potrzebne są nam zatem macierze-operatory P₁,P₂,P₃ i Q₁,Q₂,Q₃.

 

A co jak mamy nie jedną cząstkę a parę cząstek? Wtedy potrzebne nam P i Q dla każdej cząstki, bo każda z nich ma swój pęd i swoje położenie. Dla pary cząstek potrzebne nam więc będzie sześć różnych P i sześć różnych Q. Para cząstek dysponuje sześcioma stopniami swobody. Ogólnie, dla n cząstek potrzeba nam s=3n operatorów P i 3n operatorów Q. Mówimy, że mamy wtedy s=3n stopni swobody. Razem potrzeba więc nam 6n operatorów. To jest w miarę do pojęcia. Pojawia się jednak pytanie: jak trzeba  wtedy zapisać nasze równanie, gdy tych P i Q jest więcej? Było to pierwsze pytanie, które twórcy tych relacji komutacji sobie zadali. Pomyśleli i wymyślili. A ja, zamiast od początku podać pełną wersję, podałem wersję ocenzurowaną. Oto te relacje wzięte z podręcznika Borna i Jordana „Elementare Quantenmechanik” z roku 1930, kiedy to mechanika kwantowa dopiero torowała sobie drogę:

 

 

Dziś zapisujemy to nieco inaczej niż w roku 1930. Wtedy macierze (zwłaszcza te nieskończone), operatory, komutatory były w fizyce czymś nowym, były odkryciem. Stąd Born i Jordan definiowali sobie komutator jako osobliwe zwierzę zawierające w sobie zarówno urojone „i” jak i stałą Plancka. Dziś definiujemy komutator po prostu tak jak to jest w podręcznikach algebry:

 

[A,B] = AB – BA.

 

Zatem dziś zapisujemy te podstawowe relacje komutacji na których opiera się cała mechanika kwantowa jako

Położenia Q są ze sobą przemienne, pędy P są ze sobą przemienne, różne składowe pędu i położenia są ze sobą przemienne. Nieprzemienność (i odpowiadająca za nią stała Plancka) pojawia się jedynie dla tych samych składowych pędu i położenia.

 

Widać, że dodawanie nowych stopni swobody żadnej kwantowości już nie dodaje. Cała kwantowość siedzi w każdym ze stopni swobody oddzielnie. Kwantowa tajemniczość wywodzi się z tajemniczości samego ruchu! Bez względu na to w jakim kierunku ten ruch się odbywa, tajemniczość jest ta sama. Przeczuwał to już Zenon z Elei.

 

Forma zapisu często wpływa na odbieraną treść. Zapisanie czegoś starego w nowej formie może dać nowe intuicje, może wywołać nowe skojarzenia. Zapiszemy więc nasze relacje komutacji w nieco innej formie, wykorzystując swobodę jaką daje nam matematyka. Miast pisać osobno Q_k i P_l zbierzemy wszystkie te 2s Q i P w jeden wektor o 2s składowych, Będziemy go oznaczać grubą literką Q:

 

 

Minus jedynki w lewym dolnym rogu pojawiły się z własności komutatorów:

 

[P_k,Q_k] = -[Q_k,P_k]

 

Jak ktoś chce i nie boi się konfuzji, może zapisać powyższe w jednym równaniu:

 

 

W ten sposób pojawiła się nasza stara znajoma macierz J, macierz struktury symplektycznej, o czym rozmawialiśmy przy okazji całej serii poprzednich notek.

 

Popatrzmy teraz jakiej ekwilibrystyki tu dokonujemy: Q jest wektorem, którego składowymi są macierze operujące na wektorach. Przerazić się można! Toż to grozi paradoksami – takimi jak na początku notki! Przerazić się co prawda można, ale czy trzeba? W następnej notce pójdziemy dalej, bowiem rozważymy operatory operujące na wektorach Q których składowe są operatorami operującymi na wektorach ….

 

Rzecz w tym, że matematyk nie obawia się przestrzeni, której punktami są przestrzenie o punktach, które są przestrzeniami …. Co najwyżej zapyta przytomnie: a jaka jest topologia? Lub: jak zdefiniować odległość dwóch przestrzeni od siebie? Współczesna fizyka teoretyczna nie obawia się Multiversów – Wszechświatów, które składają się ze wszechświatów i tak dalej, nie wiadomo jak daleko dalej.

 

 

To wszystko można okiełzać. Jest to instrument na którym można nauczyć się grać. Oczywiście trzeba się, przede wszystkim, przestać bać. To tak jak z nauką jazdy samochodem. Początkowo wydaje się nie do opanowania. Gdy skupię uwagę na sprzęgle, nie mogę obserwować szosy, gdy skupię uwagę na lusterku wstecznym, nie mogę wiedzieć co robi moja stopa, gdy zmieniam bieg – patrzę gdzie jest drążek zmiany biegów i mogę w tym czasie zjechać z drogi ….

 

 

A jednak, po ćwiczeniach, przestaje to być straszne i mogę robić to wszystko jednocześnie słuchając muzyki, popijając colę i rozmawiając przez telefon, wszystko jednocześnie (czego nie polecam, niebezpieczne i prawnie zabronione) .