Kwantowy ślad Zenona z Elei

Moja ostatnia notka, „Czy Przyroda pisana jest językiem matematyki” miała paradoksalny efekt: dwieście komentarzy, w porównaniu z sześcioma pod przedostatnią. Z paradoksów winniśmy wyciągać konstruktywne wnioski. Sprzeczności winny być motorem postępu. Łatwo powiedzieć ….

Mistrzem paradoksów był Zenon z Elei (ur. ok. 490-430 p.n.e.). Arystoteles ze Stagiry (384 p.n.e. - 322 p.n.e. ) usiłował wyciągać z paradoksów Zenona konstruktywne wnioski. Bez powodzenia, bowiem Arystoteles słaby był w matematyce.

Paradoks strzały:

„Skoro wszystko, albo zawsze znajduje się w stanie spoczynku, albo w ruchu i że jest w spoczynku, gdy zajmuje równą sobie przestrzeń, a to co znajduje się w ruchu, znajduje się zawsze w jakimś teraz, wobec tego strzała wypuszczona z łuku stoi w miejscu”.

Strzała wypuszczona z łuku stoi w miejscu, Achilles na zawsze pozostanie w gotowości do biegu, i tym bardziej nigdy nie dogoni żółwia

Ruch jest niemożliwy. Ma w sobie sprzeczności. A jednak bez ruchu nudno by jakoś było na tym świecie. W życiu spotykamy się z problemami, które mają wszystkie cechy „niemożliwych do rozwiązania”. Dobra rada jest w takich przypadkach taka: najpierw problem rozwiąż, potem zastanów się dlaczego wydawał się on niemożliwy. „Nie czuję się na siłach, by to zrobić....”. Nie musisz czuć się na siłach. Zrób, a i siłę poczujesz!

Sprzeczności pojawiają się tam, gdzie mamy do czynienia z dwoma przeciwnymi, jak nam się wydaje, aspektami jakiejś sprawy. Przeciwieństwami u Zenona, ale nie tylko u niego, są spoczynek i ruch. Cała fizyka na rozwikływaniu tych przeciwieństw się opiera. Rozwiązując sprzeczności sama staje się sprzeczna i dzięki temu nie stoi w miejscu a się rozwija. A jak się dalej rozwinie? Bóg jeden wie.

Póki co rozwija się wcielając kwantową teorię w praktykę życia codziennego. A cóż to jest ta kwantowa teoria? To jeden wielki paradoks. Całą teorię kwantową daje się zawrzeć w jednym prostym równaniu, tak prostym, że nawet Arystoteles by je zrozumiał. Co to za równanie? Oto ono:

Wszystko, ale to absolutnie wszystko co kwantowi fizycy osiągnęli (a osiągnięcia te są naprawdę fenomenalne) daje się wyprowadzić z tego jednego równania. Wszystko inne to algorytmy wyprowadzania liczbowych wniosków dla konkretnych problemów.

I co my w tym w równaniu mamy? Mamy Q – położenie, miejsce, w tym przypadku na linii prostej, jak na obrazku z żółwiem i Achillesem. Gdyby była to trójwymiarowa przestrzeń, a nie tylko linia prosta, mielibyśmy trzy różne Q, ale to już pestka.

Mamy P – pęd. Czyli masa razy prędkość. Masa Achillesa? Historia tego nie podaje. W Q zawarty jest aspekt statyczny ruchu, w P aspekt dynamiczny. Wiemy od Zenona, że te dwa aspekty są ze sobą sprzeczne. W naszym kwantowym równaniu ta sprzeczność wyrażona jest nieprzemiennością operacji mnożenia. QP to iloczyn pędu i położenia. PQ to też ten iloczyn, tyle, że w odwrotnej kolejności.

Po prawej stronie mamy niemożliwą jednostkę urojoną „i”, czyli pierwiastek kwadratowy z minus jedynki. Dalej mamy niemożliwą stałą Plancka, niemożliwą, bo tak małą, że nie można jej zobaczyć. No i mamy niemożliwe „pi”, niemożliwe, bo niewymierne, co doprowadziło Pitagorasa do wściekłości.

Niemożliwe jest też by iloczyn dwóch liczb, w naszym przypadku Q i P, zależał od kolejności mnożenia.

Młody Heisenberg medytował nad tymi niemożliwościami i wymedytował, że Q i P to nie liczby a macierze. Bo mnożenie macierzy jest nieprzemienne.

Już już się ucieszył, że paradoks rozwiązał i droga do sukcesu prosta, ale wkrótce posmutniał, gdy zajrzał do Wikipedii i poczytał tam o „śladzie macierzy”. Ślad macierzy kwadratowej to suma elementów na przekątnej. Ślad iloczynu dwóch macierzy nie zależy od kolejności ich mnożenia. Ślad z QP jest równy śladowi PQ. Ślad z QP-PQ jest zerem. Biorąc ślad z lewej strony naszego wspaniałego równania otrzymujemy zero. A biorąc ślad z prawej strony tegoż równania musimy policzyć ślad z macierzy jednostkowej I. Ten ślad jest równy n, rozmiarowi tej macierzy. Dostajemy więc równanie:

0 = n(ih/2pi)

Jakby małe h nie było, byle różne od zera, mamy sprzeczność.

Posmutniał Heisenberg, ale że młody był, przecież się nie załamał. Rozumował tak: skoro zero nie może się równać żadnej różnej od zera liczbie skończonej, to może przecież równać się nieskończoności! Bo ani zero nie istnieje ani nieskończoność! Inni fizycy to zaakceptowali, bo też tak mniej więcej rozumują.