Zaczęło się to jeszcze w lutym od komentarza FIBROLA. Napisał :
„Tu zauważam, że język matematyki uważam za krzywe zwierciadło przyrody i należy poprzestać na języku opisowym.„
No, nie powiem, poruszyło mnie to. Odpowiedziałem:
Kontrprzykład. Mamy taki efekt - można obejrzeć i zrozumieć nawet nie znając języka.
Chcemy zrozumieć co się dzieje, dlaczego, jak? Bez matematyki się nie da. Bez matematyki można jedynie powiedzieć: czary!
Potem, w kwietniu, Krzysiek Misiek się upomniał:
No a co z tą rotującą nakrętką na orbicie ? miał Pan przestudiować ten temat i co ? doszedł Pan do jakiego zrozumienia tego zjawiska ?
No to się zabrałem w notce „Ziemia wkrótce się przewróci”. Jak dotąd (mamy koniec października) Ziemia się nie przewróciła, ale ja się w nocy przewracam nie mogąc zasnąć. Mam bowiem za zadanie pokazanie jak z matematyką efekt zrozumieć można, a zadanie to okazuje się nie takie znów proste. Wymagało ode mnie poduczenia się i to sporo. I to zarówno fizyki (mechaniki bryły sztywnej), jak i matematyki (funkcje eliptyczne), jak i programowania (animacje ruchu obrotowego). A co się czegoś nauczę, to od razu tu piszę. Nie idę przy tym najkrótszą drogę, trochę błądzę, bowiem odkrywca rzadko kiedy wie z góry jaką drogą dojść do celu. Błądzenie jest częścią procesu odkrywczego. A to co tu robimy jest w pewnym sensie odkrywcze, no, może nie tyle odkrywcze co nowatorskie. Bo temat nigdzie nie jest zadowalająco potraktowany, w żadnym podręczniku, w żadnej dotychczasowej publikacji.
Póki co pokazałem rozwiązanie połowy problemu, mianowicie podałem jawne rozwiązanie równań Eulera na wektor krętu widziany w układzie przywiązanym do obracającego się i fikającego ciała sztywnego, umownie „asymetrycznego bąka”. Z dokładnością do ewentualnej zmiany znaków i przesunięcia początku czasu mamy w ten sposób ogólne rozwiązanie równań na kręt (czy prędkość kątową). Jednak rozwiązanie równań Eulera to jedynie połowa całego problemu. Nazywa się to „częścią dynamiczną”. Pozostaje nam część druga nazywana „częścią kinematyczną”. Idzie mianowicie o to by teraz znaleźć jak wygląda nasz bąk widziany z inercjalnego (zatem nie ulegającego żadnym przyśpieszeniom względem eteru, jeśli to w ogóle możliwe) laboratorium. Jak bo wiem inaczej wymodelujemy fikające bąki-nakrętki?
By to zrobić, musimy wrócić do definicji prędkości kątowej. Przerabialiśmy to jeszcze w lecie przy okazji powtórki z omegi. Przypomnę istotę rzeczy z tamtej notki. Tam używałem literki w zamiast omegi. I tu tak zrobię.
Wybieramy więc kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni, wybieramy też kartezjański układ współrzędnych przymocowany do ciała i obracający się razem z tym ciałem. Współrzędne danego punktu w układzie przestrzennym, laboratoryjnym, oznaczamy literką r=(x,y,z) , współrzędne tego samego punktu w układzie przywiązanym do ciała oznaczamy literkami r'=(x',y',z').
Związek pomiędzy jednymi a drugimi współrzędnymi dany jest formułą
r' = A r
Macierz A nazywa się macierzą orientacji (ang. attitude matrix). Jest to macierz ortogonalna o wyznaczniku 1. W szczególności macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej, zatem
r = AT r'
Jeśli nasz punkt jest punktem ciała, wtedy jego r'=(x',y',z') są w czasie stałe, natomiast współrzędne w układzie laboratoryjnym zmieniają się w czasie. Ta zmiana nie jest byle jaka. Sztywność bryły oznacza, że zależność r od czasu jest taka:
r(t) = A(t)Tr'.
Mamy wtedy równanie
W(w') =AdAT/dt
gdzie W(w') jest macierzą antysymetryczną
W(w) =
0, -w3, w2
w3, 0, - w1
-w2, w1, 0
Zaś w' jest wektorem prędkości kątowej w układzie przywiązanym do bąka.
Mnożąc z lewej przez AT i korzystając z ortogonalności macierzy A dostajemy
dAT/dt = ATW(w')
W dalszym ciągu oznaczę macierz AT przez Q. Mamy więc
r(t) = Q(t)r'
Macierz Q transformuje z układu obracającego się do laboratoryjnego. Macierz Q winna spełniać zatem równanie
dQ(t)/dt = Q(t) W( w' (t) )
w' (t) już znamy. Otrzymaliśmy je rozwiązując równania Eulera. Trzeba teraz rozwiązać równanie różniczkowe na Q. Równanie (no, układ równań, bo Q jest macierzą) na Q jest bardzo porządne, bo jest liniowe. Jednak współczynniki po prawej stronie są zależne od czasu a ta zależność dana jest przez funkcje eliptyczne sn, cn, dn. W sumie dość fatalnie. Ale nie beznadziejnie. Rozwiązanie równania na Q znajdziemy w kolejnych notkach. A jak będziemy mieć Q, to Q będzie kręcić gajką, a ta będzie, przy dobrej pogodzie, fikać. I my fikać będziemy - z radości.
Uwaga: Szukając po sieci i po podręcznikach można znaleźć równania podobne do tego ostatniego, ale nie całkiem takie same. Jest tak, bowiem inni często używają A a nie Q, lub także używają prędkości katowej w układzie laboratoryjnym a nie obracającym się. Czasem piszą tak skomplikowanie, że oszaleć można. Jak na przykład tu: Mechanika teoretyczna/Teoria ciała sztywnego i giroskopu
Komentarze