Zgodnie z zapowiedzą spróbuję przenieść rozważania płaszczaka z poprzedniej notki o jeden wymiar przestrzeni wyżej (skupię się na przestrzeni czterowymiarowej i jej przekształceniu do przestrzeni trójwymiarowej). Sugeruję aby przed przeczytaniem niniejszego tekstu Czytelnik zapoznał się z treścią poprzedniej notki.
*)słowo Hiperprzestrzeń (pisane z wielkiej litery) użyte zostało przeze mnie jako określenie "fizycznej" przestrzeni co najmniej czterowymiarowej (jednak „coś mi mówi”, że otaczająca nas Hiperprzestrzeń jest nieskończenie wielowymiarowa). W tekście pojawia się też słowo Przestrzeń (pisane z wielkiej litery) – tym terminem będę określał „naszą” trójwymiarową przestrzeń "fizyczną".
Podobnie jak wspomniany płaszczak ("Flatland inhabitant"), ja także próbuję szukać odpowiedzi na pytania dotyczące istoty obserwowanych w naszej trójwymiarowej rzeczywistości zjawisk fizycznych. Głównie myślę o tym, czym tak w istocie jest grawitacja i elektromagnetyzm (i niejako „przy okazji” czym jest czas). Uważam, że tylko dla nas i dla istot nam podobnych przestrzeń wydaję się być trójwymiarowa – a to ze względu na taki a nie inny poziom naszej świadomości. Otaczająca nas Hiperprzestrzeń jest prawdopodobnie co najmniej czterowymiarowa (intuicja podpowiada mi, że jest nieskończenie wielowymiarowa) ale jawi się nam jako trójwymiarowa, bo to nasza ograniczona do trzech wymiarów percepcja nie potrafi odczuwać/postrzegać Hiperprzestrzeni np. w czterech wymiarach.
Podobnie też jak płaszczak skłony jestem założyć, że Hiperprzestrzeń jest niepodzielna - nie może ulegać rozerwaniu, nic nie jest w stanie jej przeciąć i podzielić na osobne części. Uważam również, że idea Eteru wypełniającego Hiperprzestrzeń, idea istnienia w przestrzeni jakiegoś medium posiadającego pewną sprężystość a więc i w pewnym sensie również i gęstość wydaje się dla mnie bardzo prawdopodobna. Tłumaczę sobie istnienie Eteru właściwościami fal elektromagnetycznych - propagują się w próżni czyli w przestrzeni pozbawionej materii. Fale to drgania - ale co drga w takiej próżni ? Ja odpowiem, że drga przestrzeń albo inaczej – drga ośrodek/medium, który tą przestrzeń wypełnia (albo który tą przestrzeń tworzy). Wiadomo, że prędkość propagacji fal elektromagnetycznych w próżni jest największa – zatem cząstki materii są w pewnym sensie tylko i wyłącznie przeszkodą w jej przemieszczaniu się w przestrzeni, nie są potrzebne do propagacji fal elektromagnetycznych.
Poprzez analogię do rozważań płaszczaka z poprzedniej notki - mając na względzie powyższe założenia – coraz bardziej przekonuję się do uznania, że świadomość istot/bytów w jakiś sposób oddziałuje na otaczającą je Hiperprzestrzeń. Może Hiperprzestrzeń w skutek tego oddziaływania ulega właśnie takiej „namacalnej”, fizycznej deformacji aby ukryć przed tymi istotami/bytami pozostałe wymiary? Być może np. dla takich istot jak my Hiperprzestrzeń zniekształca się tak, że jej czwarty wymiar i wszystkie następne ukrywają się w jakiś sposób w trójwymiarowej rzeczywistości i nie są bezpośrednio dostępne dla naszej „trójwymiarowej” świadomości. Albo może jest tak, że nasza trójwymiarowa rzeczywistość to pewien już istniejący w określonych granicach, połącznoy z całością, specyficznie zdeformowany obszar Hiperprzestrzeni ? I może tylko i wyłącznie poziom świadomości istot/bytów determinuje, w którym i jak zdeformowanym obszarze Hiperprzestrzeni (w ilu wymiarowej przestrzeni) takie byty/istoty „wiodą swój żywot” ?
Spróbuję więc odpowiedzieć na swoje pytanie: jak zdeformować tesserakt – hipersześcian czterowymiarowy (model przestrzeni czterowymiarowej) aby powstał z niego sześcian (model przestrzeni trójwymiarowej) ale w taki sposób aby tesserakt nie został rozerwany, czy też podzielony ?
Posłużę się w tym celu (podobnie jak płaszczak zrobił to z sześcianem) trójwymiarową siatką tesseraktu (Rys.1.).
Rys. 1. Rozwinięcie (siatka) tesseraktu – hipersześcianu czterowymiarowego w przestrzeni trójwymiarowej. Sześć ścian oznaczonych na rysunku jako S1, S2, S3, S4, S5 i S6 tworzą w przestrzeni czterowymiarowej dodatkowy sześcian – ósmy element składowy tworzący kontury/brzeg tesseraktu (w przestrzeni czterowymiarowej) nie pokazany na rysunku w sposób „jawny”.
Analogicznie do przekształcenia sześcianu (modelu przestrzeni trójwymiarowej) w kwadrat (model przestrzeni dwuwymiarowej) przeprowadzonego przez płaszczaka w poprzedniej notce, można przekształcić tesserakt (model przestrzeni czterowymiarowej) w sześcian (model przestrzeni trójwymiarowej) poprzez pewnego rodzaju zniekształcenie/"sprasowanie" przestrzeni (4D) ograniczonej przez osiem odpowiednio zorientowanych w przestrzeni 4D i odpowiednio ze sobą połączonych sześcianów. Zadanie można uprościć tj rozpatrywać w jaki sposób przekształcić kontury tesseraktu w kontury sześcianu czyli trzeba znaleźć sposób jak "złożyć"/nałożyć na siebie wzajemnie wszystkie osiem elementów składowych w postaci sześcianów tworzących brzeg/kontury tesseraktu tak, aby zachować połączenia między tymi elementami takie jakie są w tesserakcie w przestrzeni czterowymiarowej (co wynika z warunku „nierozerwalności” przestrzeni) i spróbować wywnioskować jak to złożenie/zniekształcenie wpłynie na właściwości przestrzeni w docelowym modelu 3D.
Wprowadzę zatem „trochę” oznaczeń krawędzi i wierzchołków siatki tesseraktu z Rys. 1. (Rys. 2)
Rys. 2. Siatka tesseraktu z Rys. 1. uzupełniona oznaczeniami wierzchołków i krawędzi
Łatwo da się zauważyć, że każda z trójek krawędzi sześcianów oznaczonych na Rys.2 jako 1,2,3; 4,5,6; 7,8,9; 10,11,12; itd. odpowiadających czwartemu wymiarowi Hiperprzestrzeni - w przestrzeni czterowymiarowej stanowi jedną krawędź tesseraktu. Zatem każda z w/w krawędzi w docelowym sześciennym modelu trójwymiarowej przestrzeni musi połączyć się („nałożyć się”) w jeden odcinek z pozostałymi krawędziami w obrębie „swojej trójki” a ściany sześcianów zewnętrznych oznaczone na rysunku jako s1, s2, s3, s4, s5, i s6 muszą utworzyć jeszcze jeden sześcian – ósmy trójwymiarowy element składowy konturów modelu przestrzeni czterowymiarowej. I znowu – analogiczne do przekształcenia sześcianu w kwadrat z poprzedniej notki: aby zachować powyższe warunki, sześciany otaczające sześcian centralny przedstawione w rozwinięciu tesseraktu muszą - obrazowo mówiąc - zostać niejako „skręcone” w tym samym kierunku o 180O i „wywrócone wnętrzem na zewnątrz” – „wciśnięte” w centralny sześcian. Z geometrycznego punktu widzenia - krawędzie tesseraktu odpowiadające czwartemu wymiarowi Hiperprzestrzeni stać się muszą przekątnymi sześcianu centralnego (Rys. 3) - co skutkować musi skróceniem krawędzi sześcianu centralnego do 1/√¯3 ich wyjściowej długości.
Rys.3. Efekt końcowy przekształcenia tesseraktu (modelu przestrzeni czterowymiarowej) w sześcian (model przestrzeni trójwymiarowej) – dla lepszego zobrazowania powiększono sześcian centralny siatki tesseraktu przedstawionej na Rys. 1 i 2. Krawędzie tesseraktu reprezentujące czwarty wymiar stały się przekątnymi sześcianu centralnego, dlatego krawędzie tego sześcianu musiały ulec skróceniu 1/\/¯3 razy w stosunku do ich długości przed przekształceniem.
Omawiane przekształcenie przedstawia poglądowo poniższa animacja
A tutaj dla lepszego zobrazowania pokazano tylko dwa segmenty tesseraktu:
Założyłem, że:
- Hiperprzestrzeń jest co najmniej czterowymiarowa (bardzo możliwe, że jest nieskończenie wielowymiarowa),
- Hiperprzestrzeń jest niepodzielna– nic nie jest w stanie podzielić jej na osobne części (tak podpowiada mi intuicja)
- percepcja liczby wymiarów Hiperprzestrzeni przez istoty/byty zależy od poziomu świadomości tych istot/bytów
- Hiperprzestrzeń wypełniona jest jakimś medium o pewnej „gęstości” i „sprężystości”(idea Eter-u)
Można roboczo stwierdzić, że z powyższych założeń (w obliczu przedstawionego wcześniej przekształcenia modelu Hiperprzestrzeni w model trójwymiarowej Przestrzeni) wynikają następujące cechy Przestrzeni:
1) Postrzegana przez nas Przestrzeń to pewien połączony z całością wielowymiarowy (prawdopodobnie nieskończenie wielowymiarowy) fragment Hiperprzestrzeni zniekształcony w taki sposób, że czwarty jej wymiar (i kolejne) zawiera się („ukrywa się”) w naszej Przestrzeni. Wszelki ruch w tak powstałej z Hiperprzestrzeni Przestrzeni nie jest możliwy bez jednoczesnego przemieszczania się w czwartym wymiarze (i wszystkich kolejnych).
2) Tak zdeformowana część Hiperprzestrzeni jawiąca się nam jako Przestrzeń jest "skręcona" i „ściśnięta” w porównaniu do wyjściowej, niezdeformowanej części Hiperprzestrzeni, z której powstała. Z geometrycznego punktu widzenia (przy rozpatrywaniu wyjściowego modelu Hiperprzestrzeni jako czterowymiarowego) - taki docelowy model Przestrzeni (trójwymiarowej) w istocie składa się z nałożonych na siebie nieskończenie wielu specyficznie zdeformowanych i specyficznie rozmieszczonych względem siebie (trywialne pisząc: "skręconych" i "ściśniętych") trójwymiarowych przestrzeni.
3) Rzeczywistość Przestrzeni cechuje pewna „symetryczna dualność”, którą można określić m.in. zwrotem: "zero w nieskończoności , nieskończoność w zerze". Ponadto środek symetrii modelu Przestrzeni jest jednocześnie środkiem symetri modelu Hiperprzestrzeni.
Czy widzicie już teraz pewne powiązania jakościowe z obserwowanymi w naszej rzeczywistości zjawiskami ? Jeżeli nie - to nie ma kłopotu – spróbuję się tym zająć w następnych notkach.
Zwrócę jeszcze uwagę na jedną rzecz.
Moim zdaniem, przedstawione w tej i w poprzedniej notce sposoby przekształcenia modeli przestrzeni 4 i 3 wymiarowej w modele przestrzeni o liczbie wymiarów odpowiednio 3 i 2 można poprzez analogię zastosować do modeli przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów. Inaczej mówiąc - można przypuszczać, że hiperprzestrzeń o dowolnej liczbie wymiarów (również nieskończonej) można zniekształcić bez jej rozrywania/dzielenia w taki sposób, aby powstała z niej przestrzeń o dowolnie mniejszej liczbie wymiarów. Zauważyć należy również, że proporcje rozmiarów kolejnych hipersześcianów - modeli reprezentujących poszczególne fragmenty hiperprzestrzeni o coraz mniejszej liczbie wymiarów występujące w kolejnych etapach wspomnianego przekształcenia, które (te proporcje) w sposób jednoznaczny można określić np. stosunkiem długości krawędzi tych kolejnych hipersześcianów - wykazują pewną prawidłowość. Poniżej przykład (animacja) przekształcenia modelu przestrzeni czterowymiarowej w przestrzeń, że tak się wyrażę, „o możliwie najmniejszej liczbie wymiarów”.
Można sprawdzić samemu, że stosunek kwadratów długości krawędzi poszczególnych hipersześcianów to: 3 (dla przekształcenia 4D -> 3D), 2 (dla przekształcenia 3D -> 2D), 1 (dla przekształcenia 2D -> 1D)), 1 (dla przekształcenia 1D –> „QD” - skrót od „quantum dimension” - „wymiar kwantowy” – tak sobie nazwałem, a co ! – dlaczego użyłem takiej nazwy spróbuję wyjaśnić w kolejnych notkach ale chyba nie trudno się domyślić). Niestety łatwo i bez wątpliwości można określić wspomniane proporcje tylko do liczby wymiarów nie przekraczających 4. Powyżej tych 4-ech póki co to niestety „czarna magia” i spekulacje (przynajmniej dla mnie ale pracuje nad tym – próbuję budować śiatkę 3D hipersześcianu pięciowymiarowego ;)...
Wydaje się jednak, że wspomniane proporcje mogą mieć związek z ciągiem Fibonacciego czyli ze złotym podziałem (złotą liczbą) - phi, mianowicie proporcje w omawianym przekształceniu to:
(0), 1, 1, 2, 3, … ?
ciąg Fibonacciego:
(0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Co jeszcze skłania mnie aby wrzucić do tego "kociołka" phi? To:
Z „pewną taką nieśmiałością” przedstawię interpretację powyższego zapisu, który moim zdaniem opisuje „rekurencyjne twierdzenie Pitagorasa (takie moje nazewnictwo ale nie mam na razie nic lepszego „pod ręką” – mam nadzieję, że nikogo to zbytnio nie irytuje) z przeskalowaniem w każdym kolejnym kroku przez długość przeciwprostokątnej otrzymanej w poprzednim kroku, która w bieżącym kroku staje się jedną przyprostokątną a drugą przyprostokątną jest przeciwprostokątna otrzymana w identyczny sposób dwa etapy wcześniej". :-P
„Rekurencyjny Pitagoras ? Przeskalowanie ? Przyprostokątne ? Przeciwprostokątne ? O co mu chodzi ?” Proszę, nie pukajcie się w czoło z dezaprobatą po przeczytaniu tego powyższego zdania napisanego wytłuszczonym tekstem…
Inaczej to ujmę – ten ułamek łańcuchowy to matematyczny opis nieskończonego procesu wyliczania długości przeciwprostokątnej (być może właśnie przekątnej hipersześcianu) jako długości względnej – przeskalowywanej w każdym kroku względem długości przyprostokątnej, która w poprzednim kroku była tak samo przeskalowaną przeciwprostokątną (być może właśnie przeskalowaną przekątną hipersześcianu o liczbie wymiarów o jeden mniej ?). Mam nadzieję, że po tym ostatnim wyjaśnieniu sprawa się nie zaciemniła ;). No dobra - chyba trochę światła powinien rzucić na temat Rys. 4. (który zapewne znacie). Spróbuję jakoś obronić te - być może dla niektórych idiotycznie brzmiące zdania.
Rys. 4.Geometryczna interpretacja ciągu Fibonacciego. Poszczególne wyrazy tego ciągu to kwadraty długości przeciwprostokątnych w kolejnych trójkątach budowanych w taki sposób, że przeciwprostokątna trójkąta n-1 stanowi jedną przyprostokątną n-tego trójkąta a drugą przyprostokątną tego trójkąta jest przeciwprostokątna trójkąta n-2. Początkowym trójkątem całej konstrukcji jest trójkąt o jednostkowych długościach przyprostokątnych (a właściwie odcinek jednostkowy).
I. Wybierzmy jakiś fragment tej „nieskończonej trójkątowej układanki” - np. ten zaczynający się od boku oznaczonego jako o i kończący się na boku oznaczonym jako t (Rys 4). Na podstawie rysunku:
q2 = p2 + o2 (1)
Przeskalujmy q oraz boki tego i wszystkich pozostałych trójkątów przez p. Niech q1= q/p (1a), p1= p/p = 1 (1b), o1 = o/p (1c), r1= r/p, s1= s/p, … itd., stąd równanie (1) przyjmie postać:
q12 = p12 + o12 a po uwzględnieniu (1b) otrzymamy: q12 = 1 + o12 (2)
Wobec powyższego przeskalowania można również napisać (dla następnego trójkąta - o bokach p, q, r):
r12 = q12 +p12, biorąc pod uwagę (1b) otrzymamy: r12 = q12 +1 (3)
II. Przeskalujmy przez q1 bok r1 i wszystkie pozostałe boki tego i wszystkich kolejnych trójkątów (przeskalowane uprzednio przez p): niech r2= r1/q1 (3a), q2= q1/q1 = 1 (3b), s2= s1/q1, t2= t1/q1, … itd., stąd równanie (3) przyjmie postać:
r22 = q22 + 1/q12 biorąc pod uwagę (3b) otrzymamy: r22 = 1 + 1/q12 (4)
Uwzględniając przeskalowanie j/w można również napisać (dla następnego trójkąta - o bokach q ,r, s):
s22 = r22 + q22,biorąc pod uwagę (3b): s22 = r22+1 (5) gdzie s2 = s1/q1, przy czym s1 to przeskalowane s względem p (vide pkt I)
III. Przeskalujmy dalej przez r2 bok s2 i wszystkie pozostałe boki tego i wszystkich kolejnych trójkątów (przeskalowane w poprzednim kroku przez q1, a w kroku jeszcze wcześniejszym przez p): niech s3= s2/r2 (5a), r3= r2/r2 = 1 (5b), t3= t2/r2, u3= u2/r2, … itd. , stąd równanie (5) przyjmie postać:
s32 = r32 + 1/r22 biorąc pod uwagę (5b) otrzymamy: s32 = 1 + 1/r22 (6)
Uwzględniając przeskalowanie j/w można również napisać (dla kolejnego trójkąta - o bokach r, s, t):
t32 = s32 + r32, biorąc pod uwagę (5b): t32 = s32+1 (7) gdzie t3 = t2/r2, przy czym r2 to przeskalowane r1 względem q1, natomiast q1 to przeskalowane q względem p
IV. Przeskalujmy dalej przez s3 bok t3 i wszystkie pozostałe boki tego i wszystkich kolejnych trójkątów (przeskalowane w poprzednim kroku przez r2, we wcześniejszym kroku przez q1, a w jeszcze wcześniejszym przez p): niech t4= t3/s3 (7a), s4= s3/s3 = 1 (7b), t3= t2/r2, u3= u2/r2, … itd. , stąd równanie (7) przyjmie postać:
t42 = s42 + 1/s32 a po uwzględnieniu (7b) otrzymamy: t42 = 1 + 1/s32 (8)
I tak można by w nieskończoność… ale już teraz na podstawie równań (2), (4), (6) i (8) można napisać:
Czy to nie jest właśnie matematyczny (i to w dodatku „całkiem zgrabny”) opis jednego z dwóch aspektów czyli owej „kompresji” obok „skręcenia” towarzyszących przedstawionemu w tej notce procesowi redukcji wymiarów nieskończenie wielowymiarowej hiperprzestrzeni? Prawdopodobnie tak może być ale to i tak bynajmniej nie upewnia nas, że ta redukcja wymiarów zachodzi w naszym fizycznym świecie – w naszej fizycznej Hiperprzestrzeni. Co jest zatem w stanie tego dowieść lub to obalić ? To co zwykle w przypadkach takich „intuicji” i „hipotez” – mianowicie odniesienie zbudowanego modelu (na razie nie jest jeszcze przeze mnie skończony) do jakościowego i ilościowego opisu zachodzących w naszym rzeczywistym świecie znanych nam fizycznych zjawisk i cech fizycznych obiektów oraz sprawdzenie możliwości przewidywania na podstawie zbudowanego, hipotetycznego modelu występowania zjawisk fizycznych (lub też cech fizycznych obiektów), które to przewidywania możliwe będą do potwierdzenia doświadczalnie. A do tego to uuuuuuuuu – daleka droga… ale wydaje mi się (przynajmniej na razie), że „zupka”, którą tu tak nieudolnie pitraszę mimo wszystko nabiera całkiem niezłego smaku (przynajmniej mi zaczyna to smakować co raz bardziej…).
Znamienne jest również to, że w przypadku uznania (udowodnienia ?), że ta hierarchiczna, opisana powyżej redukcja wymiarów hiperprzestrzeni ma miejsce w naszej fizyczej rzeczywistości i jest związana z liczbą phi, to znaczenia nabiera tutaj także zapis phi/pi. Mianowicie taki zapis określałby (na pewno w znaczeniu symbolicznym ale kto wie - być może i również w znaczeniu ilościowym ?) podstawową zasadę konstrukcji „różnowymiarowych rzeczywistości w wyniku oddziaływania świadomości” – czyli tak naprawdę jedną z podstawowych zasad konstrukcji Wszechświata (ale zabrzmiało… ;) . Otóż liczbę pi należy rozumieć tutaj jako miarę kąta „skręcenia” Hiperprzestrzeni przy zmniejszeniu jej wymiaru o jeden (osią tego „skrętu” jest redukowany wymiar). Bardzo „luźno” formułując: przy redukcji liczby wymiarów Hiperprzestrzeni o jeden następuje „kompresja” Hiperprzestrzeni w proporcji wyrażonej wartością liczby phi przy jednoczesnym jej „skręceniu” wokół osi wyznaczonej przez redukowany wymiar o kąt pi radianów. Tak naprawdę to to luźne stwierdzenie jest tym bardziej dokładne im ilość wymiarów większa (vide ciąg Fibonacciego). Zwrócić należy również uwagę, że owe „skręcenie” wokół osi reprezentowanej przez redukowany wymiar hiperprzestrzeni n wymiarowej przełoży się w zredukowanej hiperprzestrzeni (n-1 wymiarowej) na „skręcenie” poszczególnych elementów n-1 wymiarowych tworzących hiperprzestrzeń n wymiarową. Np. przy redukcji wymiarów z 4 do 3 sześć z ośmiu sześcianów tworzących kontury/brzeg tesseraktu ulegnie „skręceniu” (co będzie miało odzwierciedlenie w odpowiednim "skręceniu" przestrzeni docelowej 3D). Inaczej mówiąc – „skręcenie” hiperprzestrzeni wokół osi reprezentującej redukowany wymiar „przełoży się” na „skręcenie” wnętrza hiperprzestrzeni docelowej (o jeden wymiar mniejszej) wokół wszystkich osi odpowiadających wszystkim wymiarom docelowej hiperprzestrzeni. Zatem w przekształceniu 4D w 3D „skręcenie” wnętrza przestrzeni 3D następuje w trzech osiach, w przekształceniu 3D w 2D - w dwóch osiach, w przekształceniu 5D w 4D wnętrze przestrzeni 4D ulegnie „skręceniu” w czterech osiach, itd.
C. D. N. P. N. (ciąg dalszy na pewno nastąpi)
Być może będzie mi łatwiej zamieszczać nowe notki częściej, kiedy uda się wykazać, że przedstawione tu idee to coś więcej niż tylko "tania metafizyka" i będzie można je wykorzystać do chociażby ninimalnego ujarzmienia czasu... ;)
A tak bardziej poważnie: czy zwróciliście uwagę gdzie w tej "hipotezie roboczej", którą się z Wami dzielę jest właśnie miejsce dla czasu ? I czego jeszcze nie uwzględnił płaszczak z poprzedniej notki (podobnie jak i ja) w swoich rozważaniach.
